Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 324 / 179
↖ ↑ ↗
← N 75.230667°
W 66.093750°		 ← 9 965.64 m → N 75.230667°
W 65.742188°		 →
↑
9 995.21 m
↓
↑
9 995.21 m
↓
N 75.140778°
W 66.093750°		 ← 10.025 km →
99 904 979 m²		 N 75.140778°
W 65.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.31689453125 y=0.17529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.31689453125 × 210)
    floor (0.31689453125 × 1024)
    floor (324.5)     		tx = 324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17529296875 × 210)
    floor (0.17529296875 × 1024)
    floor (179.5)     		ty = 179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 324 / 179 ti = "10/324/179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/324/179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 324 ÷ 210
    324 ÷ 1024     		x = 0.31640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 179 ÷ 210
    179 ÷ 1024     		y = 0.1748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.31640625 × 2 - 1) × π
    -0.3671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.15355355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1748046875 × 2 - 1) × π
    0.650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.04326240940527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.15355355} λ = -1.15355355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04326240940527))-π/2
    2×atan(7.71574008599329)-π/2
    2×1.44190958580322-π/2
    2.88381917160645-1.57079632675     		φ = 1.31302284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.15355355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -66.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31302284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.230667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 324 KachelY 179 -1.15355355 1.31302284 -66.093750 75.230667
    Oben rechts KachelX + 1 325 KachelY 179 -1.14741763 1.31302284 -65.742188 75.230667
    Unten links KachelX 324 KachelY + 1 180 -1.15355355 1.31145398 -66.093750 75.140778
    Unten rechts KachelX + 1 325 KachelY + 1 180 -1.14741763 1.31145398 -65.742188 75.140778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31302284-1.31145398) × R
    0.00156885999999989 × 6371000     		dl = 9995.20705999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31302284-1.31145398) × R
    0.00156885999999989 × 6371000     		dr = 9995.20705999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.15355355--1.14741763) × cos(1.31302284) × R
    0.00613591999999996 × 0.25492823640204 × 6371000     		do = 9965.64093288076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.15355355--1.14741763) × cos(1.31145398) × R
    0.00613591999999996 × 0.256444946876806 × 6371000     		du = 10024.9320973433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31302284)-sin(1.31145398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25492823640204-0.256444946876806)×R²
    abs(-1.14741763--1.15355355)×0.00151671047476637×R²
    0.00613591999999996×0.00151671047476637×6371000²
    0.00613591999999996×0.00151671047476637×40589641000000     		ar = 99904978.8341083m²