Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32399 / 34649
↖ ↑ ↗
← S 10.277086°
W  2.026977°		 ← 600.99 m → S 10.277086°
W  2.021484°		 →
↑
601.04 m
↓
↑
601.04 m
↓
S 10.282491°
W  2.026977°		 ← 600.98 m →
361 215 m²		 S 10.282491°
W  2.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494377136230469 y=0.528709411621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494377136230469 × 216)
    floor (0.494377136230469 × 65536)
    floor (32399.5)     		tx = 32399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528709411621094 × 216)
    floor (0.528709411621094 × 65536)
    floor (34649.5)     		ty = 34649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32399 / 34649 ti = "16/32399/34649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32399/34649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32399 ÷ 216
    32399 ÷ 65536     		x = 0.494369506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34649 ÷ 216
    34649 ÷ 65536     		y = 0.528701782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494369506835938 × 2 - 1) × π
    -0.011260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03537743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528701782226562 × 2 - 1) × π
    -0.057403564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.180338616370651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03537743} λ = -0.03537743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.180338616370651))-π/2
    2×atan(0.834987423124845)-π/2
    2×0.695713666559212-π/2
    1.39142733311842-1.57079632675     		φ = -0.17936899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03537743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.026977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17936899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.277086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32399 KachelY 34649 -0.03537743 -0.17936899 -2.026977 -10.277086
    Oben rechts KachelX + 1 32400 KachelY 34649 -0.03528156 -0.17936899 -2.021484 -10.277086
    Unten links KachelX 32399 KachelY + 1 34650 -0.03537743 -0.17946333 -2.026977 -10.282491
    Unten rechts KachelX + 1 32400 KachelY + 1 34650 -0.03528156 -0.17946333 -2.021484 -10.282491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17936899--0.17946333) × R
    9.43399999999983e-05 × 6371000     		dl = 601.040139999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17936899--0.17946333) × R
    9.43399999999983e-05 × 6371000     		dr = 601.040139999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03537743--0.03528156) × cos(-0.17936899) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.983956466361456 × 6371000     		do = 600.988575866024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03537743--0.03528156) × cos(-0.17946333) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.983939630903966 × 6371000     		du = 600.978292974487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17936899)-sin(-0.17946333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983956466361456-0.983939630903966)×R²
    abs(-0.03528156--0.03537743)×1.68354574904273e-05×R²
    9.58700000000048e-05×1.68354574904273e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×1.68354574904273e-05×40589641000000     		ar = 361215.167829564m²