Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32399 / 34577
↖ ↑ ↗
← S  9.887687°
W  2.026977°		 ← 601.72 m → S  9.887687°
W  2.021484°		 →
↑
601.68 m
↓
↑
601.68 m
↓
S  9.893098°
W  2.026977°		 ← 601.71 m →
362 035 m²		 S  9.893098°
W  2.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494377136230469 y=0.527610778808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494377136230469 × 216)
    floor (0.494377136230469 × 65536)
    floor (32399.5)     		tx = 32399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527610778808594 × 216)
    floor (0.527610778808594 × 65536)
    floor (34577.5)     		ty = 34577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32399 / 34577 ti = "16/32399/34577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32399/34577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32399 ÷ 216
    32399 ÷ 65536     		x = 0.494369506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34577 ÷ 216
    34577 ÷ 65536     		y = 0.527603149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494369506835938 × 2 - 1) × π
    -0.011260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03537743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527603149414062 × 2 - 1) × π
    -0.055206298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.173435702825363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03537743} λ = -0.03537743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173435702825363))-π/2
    2×atan(0.840771208637223)-π/2
    2×0.699111815679523-π/2
    1.39822363135905-1.57079632675     		φ = -0.17257270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03537743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.026977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17257270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.887687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32399 KachelY 34577 -0.03537743 -0.17257270 -2.026977 -9.887687
    Oben rechts KachelX + 1 32400 KachelY 34577 -0.03528156 -0.17257270 -2.021484 -9.887687
    Unten links KachelX 32399 KachelY + 1 34578 -0.03537743 -0.17266714 -2.026977 -9.893098
    Unten rechts KachelX + 1 32400 KachelY + 1 34578 -0.03528156 -0.17266714 -2.021484 -9.893098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17257270--0.17266714) × R
    9.44400000000012e-05 × 6371000     		dl = 601.677240000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17257270--0.17266714) × R
    9.44400000000012e-05 × 6371000     		dr = 601.677240000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03537743--0.03528156) × cos(-0.17257270) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.98514625027508 × 6371000     		do = 601.715281329408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03537743--0.03528156) × cos(-0.17266714) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.985130028890602 × 6371000     		du = 601.705373506157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17257270)-sin(-0.17266714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98514625027508-0.985130028890602)×R²
    abs(-0.03528156--0.03537743)×1.622138447821e-05×R²
    9.58700000000048e-05×1.622138447821e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×1.622138447821e-05×40589641000000     		ar = 362035.409349345m²