Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32397 / 34631
↖ ↑ ↗
← S 10.179781°
W  2.037964°		 ← 601.17 m → S 10.179781°
W  2.032471°		 →
↑
601.23 m
↓
↑
601.23 m
↓
S 10.185188°
W  2.037964°		 ← 601.16 m →
361 441 m²		 S 10.185188°
W  2.032471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494346618652344 y=0.528434753417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494346618652344 × 216)
    floor (0.494346618652344 × 65536)
    floor (32397.5)     		tx = 32397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528434753417969 × 216)
    floor (0.528434753417969 × 65536)
    floor (34631.5)     		ty = 34631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32397 / 34631 ti = "16/32397/34631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32397/34631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32397 ÷ 216
    32397 ÷ 65536     		x = 0.494338989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34631 ÷ 216
    34631 ÷ 65536     		y = 0.528427124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494338989257812 × 2 - 1) × π
    -0.011322021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03556918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528427124023438 × 2 - 1) × π
    -0.056854248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.178612887984329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03556918} λ = -0.03556918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.178612887984329))-π/2
    2×atan(0.836429628692773)-π/2
    2×0.696562817666739-π/2
    1.39312563533348-1.57079632675     		φ = -0.17767069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03556918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.037964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17767069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.179781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32397 KachelY 34631 -0.03556918 -0.17767069 -2.037964 -10.179781
    Oben rechts KachelX + 1 32398 KachelY 34631 -0.03547331 -0.17767069 -2.032471 -10.179781
    Unten links KachelX 32397 KachelY + 1 34632 -0.03556918 -0.17776506 -2.037964 -10.185188
    Unten rechts KachelX + 1 32398 KachelY + 1 34632 -0.03547331 -0.17776506 -2.032471 -10.185188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17767069--0.17776506) × R
    9.43700000000103e-05 × 6371000     		dl = 601.231270000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17767069--0.17776506) × R
    9.43700000000103e-05 × 6371000     		dr = 601.231270000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03556918--0.03547331) × cos(-0.17767069) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.984258038774885 × 6371000     		do = 601.172772607873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03556918--0.03547331) × cos(-0.17776506) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.984241355682506 × 6371000     		du = 601.162582779081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17767069)-sin(-0.17776506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984258038774885-0.984241355682506)×R²
    abs(-0.03547331--0.03556918)×1.66830923793437e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.66830923793437e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.66830923793437e-05×40589641000000     		ar = 361440.806610821m²