Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32393 / 34649
↖ ↑ ↗
← S 10.277086°
W  2.059936°		 ← 600.99 m → S 10.277086°
W  2.054443°		 →
↑
601.04 m
↓
↑
601.04 m
↓
S 10.282491°
W  2.059936°		 ← 600.98 m →
361 215 m²		 S 10.282491°
W  2.054443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494285583496094 y=0.528709411621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494285583496094 × 216)
    floor (0.494285583496094 × 65536)
    floor (32393.5)     		tx = 32393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528709411621094 × 216)
    floor (0.528709411621094 × 65536)
    floor (34649.5)     		ty = 34649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32393 / 34649 ti = "16/32393/34649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32393/34649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32393 ÷ 216
    32393 ÷ 65536     		x = 0.494277954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34649 ÷ 216
    34649 ÷ 65536     		y = 0.528701782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494277954101562 × 2 - 1) × π
    -0.011444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03595267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528701782226562 × 2 - 1) × π
    -0.057403564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.180338616370651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03595267} λ = -0.03595267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.180338616370651))-π/2
    2×atan(0.834987423124845)-π/2
    2×0.695713666559212-π/2
    1.39142733311842-1.57079632675     		φ = -0.17936899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03595267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.059936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17936899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.277086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32393 KachelY 34649 -0.03595267 -0.17936899 -2.059936 -10.277086
    Oben rechts KachelX + 1 32394 KachelY 34649 -0.03585680 -0.17936899 -2.054443 -10.277086
    Unten links KachelX 32393 KachelY + 1 34650 -0.03595267 -0.17946333 -2.059936 -10.282491
    Unten rechts KachelX + 1 32394 KachelY + 1 34650 -0.03585680 -0.17946333 -2.054443 -10.282491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17936899--0.17946333) × R
    9.43399999999983e-05 × 6371000     		dl = 601.040139999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17936899--0.17946333) × R
    9.43399999999983e-05 × 6371000     		dr = 601.040139999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03595267--0.03585680) × cos(-0.17936899) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983956466361456 × 6371000     		do = 600.988575865981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03595267--0.03585680) × cos(-0.17946333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983939630903966 × 6371000     		du = 600.978292974443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17936899)-sin(-0.17946333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983956466361456-0.983939630903966)×R²
    abs(-0.03585680--0.03595267)×1.68354574904273e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68354574904273e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68354574904273e-05×40589641000000     		ar = 361215.167829538m²