Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32389 / 34617
↖ ↑ ↗
← S 10.104078°
W  2.081909°		 ← 601.31 m → S 10.104078°
W  2.076416°		 →
↑
601.36 m
↓
↑
601.36 m
↓
S 10.109486°
W  2.081909°		 ← 601.30 m →
361 603 m²		 S 10.109486°
W  2.076416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494224548339844 y=0.528221130371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494224548339844 × 216)
    floor (0.494224548339844 × 65536)
    floor (32389.5)     		tx = 32389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528221130371094 × 216)
    floor (0.528221130371094 × 65536)
    floor (34617.5)     		ty = 34617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32389 / 34617 ti = "16/32389/34617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32389/34617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32389 ÷ 216
    32389 ÷ 65536     		x = 0.494216918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34617 ÷ 216
    34617 ÷ 65536     		y = 0.528213500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494216918945312 × 2 - 1) × π
    -0.011566162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03633617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528213500976562 × 2 - 1) × π
    -0.056427001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.177270654794968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03633617} λ = -0.03633617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177270654794968))-π/2
    2×atan(0.837553066089785)-π/2
    2×0.697223447732823-π/2
    1.39444689546565-1.57079632675     		φ = -0.17634943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03633617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.081909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17634943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.104078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32389 KachelY 34617 -0.03633617 -0.17634943 -2.081909 -10.104078
    Oben rechts KachelX + 1 32390 KachelY 34617 -0.03624030 -0.17634943 -2.076416 -10.104078
    Unten links KachelX 32389 KachelY + 1 34618 -0.03633617 -0.17644382 -2.081909 -10.109486
    Unten rechts KachelX + 1 32390 KachelY + 1 34618 -0.03624030 -0.17644382 -2.076416 -10.109486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17634943--0.17644382) × R
    9.43899999999998e-05 × 6371000     		dl = 601.358689999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17634943--0.17644382) × R
    9.43899999999998e-05 × 6371000     		dr = 601.358689999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03633617--0.03624030) × cos(-0.17634943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98449069565779 × 6371000     		do = 601.314876586557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03633617--0.03624030) × cos(-0.17644382) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.984474131792786 × 6371000     		du = 601.304759580389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17634943)-sin(-0.17644382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98449069565779-0.984474131792786)×R²
    abs(-0.03624030--0.03633617)×1.65638650038158e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.65638650038158e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.65638650038158e-05×40589641000000     		ar = 361602.884755283m²