Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32388 / 37506
↖ ↑ ↗
← S 25.175116°
W  2.087402°		 ← 552.77 m → S 25.175116°
W  2.081909°		 →
↑
552.81 m
↓
↑
552.81 m
↓
S 25.180088°
W  2.087402°		 ← 552.75 m →
305 572 m²		 S 25.180088°
W  2.081909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494209289550781 y=0.572303771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494209289550781 × 216)
    floor (0.494209289550781 × 65536)
    floor (32388.5)     		tx = 32388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572303771972656 × 216)
    floor (0.572303771972656 × 65536)
    floor (37506.5)     		ty = 37506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32388 / 37506 ti = "16/32388/37506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32388/37506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32388 ÷ 216
    32388 ÷ 65536     		x = 0.49420166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37506 ÷ 216
    37506 ÷ 65536     		y = 0.572296142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49420166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03643204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.14459228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.454250060799652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03643204} λ = -0.03643204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.454250060799652))-π/2
    2×atan(0.634923943804142)-π/2
    2×0.565703826878296-π/2
    1.13140765375659-1.57079632675     		φ = -0.43938867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03643204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.087402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43938867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.175116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32388 KachelY 37506 -0.03643204 -0.43938867 -2.087402 -25.175116
    Oben rechts KachelX + 1 32389 KachelY 37506 -0.03633617 -0.43938867 -2.081909 -25.175116
    Unten links KachelX 32388 KachelY + 1 37507 -0.03643204 -0.43947544 -2.087402 -25.180088
    Unten rechts KachelX + 1 32389 KachelY + 1 37507 -0.03633617 -0.43947544 -2.081909 -25.180088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43938867--0.43947544) × R
    8.67700000000138e-05 × 6371000     		dl = 552.811670000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43938867--0.43947544) × R
    8.67700000000138e-05 × 6371000     		dr = 552.811670000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03643204--0.03633617) × cos(-0.43938867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905011883713056 × 6371000     		do = 552.770190276585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03643204--0.03633617) × cos(-0.43947544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.904974969538336 × 6371000     		du = 552.747643550126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43938867)-sin(-0.43947544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905011883713056-0.904974969538336)×R²
    abs(-0.03633617--0.03643204)×3.69141747201818e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69141747201818e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69141747201818e-05×40589641000000     		ar = 305571.580158207m²