Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32387 / 34621
↖ ↑ ↗
← S 10.125710°
W  2.092896°		 ← 601.34 m → S 10.125710°
W  2.087402°		 →
↑
601.29 m
↓
↑
601.29 m
↓
S 10.131117°
W  2.092896°		 ← 601.33 m →
361 578 m²		 S 10.131117°
W  2.087402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494194030761719 y=0.528282165527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494194030761719 × 216)
    floor (0.494194030761719 × 65536)
    floor (32387.5)     		tx = 32387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528282165527344 × 216)
    floor (0.528282165527344 × 65536)
    floor (34621.5)     		ty = 34621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32387 / 34621 ti = "16/32387/34621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32387/34621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32387 ÷ 216
    32387 ÷ 65536     		x = 0.494186401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34621 ÷ 216
    34621 ÷ 65536     		y = 0.528274536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494186401367188 × 2 - 1) × π
    -0.011627197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03652792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528274536132812 × 2 - 1) × π
    -0.056549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.177654149991928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03652792} λ = -0.03652792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177654149991928))-π/2
    2×atan(0.837231930092732)-π/2
    2×0.697034680360861-π/2
    1.39406936072172-1.57079632675     		φ = -0.17672697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03652792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.092896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17672697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.125710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32387 KachelY 34621 -0.03652792 -0.17672697 -2.092896 -10.125710
    Oben rechts KachelX + 1 32388 KachelY 34621 -0.03643204 -0.17672697 -2.087402 -10.125710
    Unten links KachelX 32387 KachelY + 1 34622 -0.03652792 -0.17682135 -2.092896 -10.131117
    Unten rechts KachelX + 1 32388 KachelY + 1 34622 -0.03643204 -0.17682135 -2.087402 -10.131117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17672697--0.17682135) × R
    9.43799999999773e-05 × 6371000     		dl = 601.294979999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17672697--0.17682135) × R
    9.43799999999773e-05 × 6371000     		dr = 601.294979999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03652792--0.03643204) × cos(-0.17672697) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.984424391087666 × 6371000     		do = 601.337096243997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03652792--0.03643204) × cos(-0.17682135) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.984407793899841 × 6371000     		du = 601.32695782725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17672697)-sin(-0.17682135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984424391087666-0.984407793899841)×R²
    abs(-0.03643204--0.03652792)×1.65971878246518e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.65971878246518e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.65971878246518e-05×40589641000000     		ar = 361577.929437968m²