Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32385 / 47743
↖ ↑ ↗
← S 63.231154°
W  2.103882°		 ← 275.12 m → S 63.231154°
W  2.098389°		 →
↑
275.10 m
↓
↑
275.10 m
↓
S 63.233628°
W  2.103882°		 ← 275.10 m →
75 683 m²		 S 63.233628°
W  2.098389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494163513183594 y=0.728507995605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494163513183594 × 216)
    floor (0.494163513183594 × 65536)
    floor (32385.5)     		tx = 32385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728507995605469 × 216)
    floor (0.728507995605469 × 65536)
    floor (47743.5)     		ty = 47743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32385 / 47743 ti = "16/32385/47743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32385/47743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32385 ÷ 216
    32385 ÷ 65536     		x = 0.494155883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47743 ÷ 216
    47743 ÷ 65536     		y = 0.728500366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494155883789062 × 2 - 1) × π
    -0.011688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03671967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728500366210938 × 2 - 1) × π
    -0.457000732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43571014362068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03671967} λ = -0.03671967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43571014362068))-π/2
    2×atan(0.237946327934996)-π/2
    2×0.233602254723639-π/2
    0.467204509447279-1.57079632675     		φ = -1.10359182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03671967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.103882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10359182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.231154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32385 KachelY 47743 -0.03671967 -1.10359182 -2.103882 -63.231154
    Oben rechts KachelX + 1 32386 KachelY 47743 -0.03662379 -1.10359182 -2.098389 -63.231154
    Unten links KachelX 32385 KachelY + 1 47744 -0.03671967 -1.10363500 -2.103882 -63.233628
    Unten rechts KachelX + 1 32386 KachelY + 1 47744 -0.03662379 -1.10363500 -2.098389 -63.233628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10359182--1.10363500) × R
    4.31800000000315e-05 × 6371000     		dl = 275.099780000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10359182--1.10363500) × R
    4.31800000000315e-05 × 6371000     		dr = 275.099780000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03671967--0.03662379) × cos(-1.10359182) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.450392145931055 × 6371000     		do = 275.12270892236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03671967--0.03662379) × cos(-1.10363500) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.450353593075369 × 6371000     		du = 275.099158853406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10359182)-sin(-1.10363500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450392145931055-0.450353593075369)×R²
    abs(-0.03662379--0.03671967)×3.8552855685936e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.8552855685936e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.8552855685936e-05×40589641000000     		ar = 75682.9573998824m²