Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32372 / 34556
↖ ↑ ↗
← S  9.774025°
W  2.175293°		 ← 601.92 m → S  9.774025°
W  2.169800°		 →
↑
601.93 m
↓
↑
601.93 m
↓
S  9.779438°
W  2.175293°		 ← 601.91 m →
362 313 m²		 S  9.779438°
W  2.169800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493965148925781 y=0.527290344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493965148925781 × 216)
    floor (0.493965148925781 × 65536)
    floor (32372.5)     		tx = 32372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527290344238281 × 216)
    floor (0.527290344238281 × 65536)
    floor (34556.5)     		ty = 34556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32372 / 34556 ti = "16/32372/34556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32372/34556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32372 ÷ 216
    32372 ÷ 65536     		x = 0.49395751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34556 ÷ 216
    34556 ÷ 65536     		y = 0.52728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49395751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0120849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03796602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.0545654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.171422353041321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03796602} λ = -0.03796602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.171422353041321))-π/2
    2×atan(0.842465680378329)-π/2
    2×0.700103708477288-π/2
    1.40020741695458-1.57079632675     		φ = -0.17058891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03796602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.175293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17058891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.774025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32372 KachelY 34556 -0.03796602 -0.17058891 -2.175293 -9.774025
    Oben rechts KachelX + 1 32373 KachelY 34556 -0.03787015 -0.17058891 -2.169800 -9.774025
    Unten links KachelX 32372 KachelY + 1 34557 -0.03796602 -0.17068339 -2.175293 -9.779438
    Unten rechts KachelX + 1 32373 KachelY + 1 34557 -0.03787015 -0.17068339 -2.169800 -9.779438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17058891--0.17068339) × R
    9.44799999999801e-05 × 6371000     		dl = 601.932079999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17058891--0.17068339) × R
    9.44799999999801e-05 × 6371000     		dr = 601.932079999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03796602--0.03787015) × cos(-0.17058891) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.985484962830351 × 6371000     		do = 601.922162815713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03796602--0.03787015) × cos(-0.17068339) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.985468919248209 × 6371000     		du = 601.912363591954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17058891)-sin(-0.17068339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985484962830351-0.985468919248209)×R²
    abs(-0.03787015--0.03796602)×1.60435821422444e-05×R²
    9.58700000000048e-05×1.60435821422444e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×1.60435821422444e-05×40589641000000     		ar = 362313.310497644m²