Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32364 / 34549
↖ ↑ ↗
← S  9.736129°
W  2.219238°		 ← 601.99 m → S  9.736129°
W  2.213745°		 →
↑
602 m
↓
↑
602 m
↓
S  9.741542°
W  2.219238°		 ← 601.98 m →
362 393 m²		 S  9.741542°
W  2.213745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493843078613281 y=0.527183532714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493843078613281 × 216)
    floor (0.493843078613281 × 65536)
    floor (32364.5)     		tx = 32364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527183532714844 × 216)
    floor (0.527183532714844 × 65536)
    floor (34549.5)     		ty = 34549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32364 / 34549 ti = "16/32364/34549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32364/34549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32364 ÷ 216
    32364 ÷ 65536     		x = 0.49383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34549 ÷ 216
    34549 ÷ 65536     		y = 0.527175903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.0123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03873301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527175903320312 × 2 - 1) × π
    -0.054351806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.17075123644664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03873301} λ = -0.03873301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17075123644664))-π/2
    2×atan(0.84303126284154)-π/2
    2×0.700434414947803-π/2
    1.40086882989561-1.57079632675     		φ = -0.16992750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03873301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.219238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16992750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.736129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32364 KachelY 34549 -0.03873301 -0.16992750 -2.219238 -9.736129
    Oben rechts KachelX + 1 32365 KachelY 34549 -0.03863714 -0.16992750 -2.213745 -9.736129
    Unten links KachelX 32364 KachelY + 1 34550 -0.03873301 -0.17002199 -2.219238 -9.741542
    Unten rechts KachelX + 1 32365 KachelY + 1 34550 -0.03863714 -0.17002199 -2.213745 -9.741542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16992750--0.17002199) × R
    9.44900000000026e-05 × 6371000     		dl = 601.995790000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16992750--0.17002199) × R
    9.44900000000026e-05 × 6371000     		dr = 601.995790000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03873301--0.03863714) × cos(-0.16992750) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985597030039617 × 6371000     		do = 601.990612096508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03873301--0.03863714) × cos(-0.17002199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98558104635141 × 6371000     		du = 601.980849455231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16992750)-sin(-0.17002199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985597030039617-0.98558104635141)×R²
    abs(-0.03863714--0.03873301)×1.59836882070996e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59836882070996e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59836882070996e-05×40589641000000     		ar = 362392.875836811m²