Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32363 / 34669
↖ ↑ ↗
← S 10.385168°
W  2.224732°		 ← 600.84 m → S 10.385168°
W  2.219238°		 →
↑
600.85 m
↓
↑
600.85 m
↓
S 10.390572°
W  2.224732°		 ← 600.83 m →
361 014 m²		 S 10.390572°
W  2.219238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493827819824219 y=0.529014587402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493827819824219 × 216)
    floor (0.493827819824219 × 65536)
    floor (32363.5)     		tx = 32363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529014587402344 × 216)
    floor (0.529014587402344 × 65536)
    floor (34669.5)     		ty = 34669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32363 / 34669 ti = "16/32363/34669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32363/34669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32363 ÷ 216
    32363 ÷ 65536     		x = 0.493820190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34669 ÷ 216
    34669 ÷ 65536     		y = 0.529006958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493820190429688 × 2 - 1) × π
    -0.012359619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03882889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529006958007812 × 2 - 1) × π
    -0.058013916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.182256092355453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03882889} λ = -0.03882889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182256092355453))-π/2
    2×atan(0.833387888817787)-π/2
    2×0.69477047201221-π/2
    1.38954094402442-1.57079632675     		φ = -0.18125538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03882889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.224732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18125538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.385168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32363 KachelY 34669 -0.03882889 -0.18125538 -2.224732 -10.385168
    Oben rechts KachelX + 1 32364 KachelY 34669 -0.03873301 -0.18125538 -2.219238 -10.385168
    Unten links KachelX 32363 KachelY + 1 34670 -0.03882889 -0.18134969 -2.224732 -10.390572
    Unten rechts KachelX + 1 32364 KachelY + 1 34670 -0.03873301 -0.18134969 -2.219238 -10.390572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18125538--0.18134969) × R
    9.43100000000141e-05 × 6371000     		dl = 600.84901000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18125538--0.18134969) × R
    9.43100000000141e-05 × 6371000     		dr = 600.84901000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03882889--0.03873301) × cos(-0.18125538) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.983618167442897 × 6371000     		do = 600.844613337379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03882889--0.03873301) × cos(-0.18134969) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.983601162320789 × 6371000     		du = 600.834225733372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18125538)-sin(-0.18134969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983618167442897-0.983601162320789)×R²
    abs(-0.03873301--0.03882889)×1.70051221080048e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.70051221080048e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.70051221080048e-05×40589641000000     		ar = 361013.770664408m²