Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32359 / 34564
↖ ↑ ↗
← S  9.817329°
W  2.246704°		 ← 601.84 m → S  9.817329°
W  2.241211°		 →
↑
601.87 m
↓
↑
601.87 m
↓
S  9.822742°
W  2.246704°		 ← 601.83 m →
362 228 m²		 S  9.822742°
W  2.241211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493766784667969 y=0.527412414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493766784667969 × 216)
    floor (0.493766784667969 × 65536)
    floor (32359.5)     		tx = 32359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527412414550781 × 216)
    floor (0.527412414550781 × 65536)
    floor (34564.5)     		ty = 34564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32359 / 34564 ti = "16/32359/34564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32359/34564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32359 ÷ 216
    32359 ÷ 65536     		x = 0.493759155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34564 ÷ 216
    34564 ÷ 65536     		y = 0.52740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493759155273438 × 2 - 1) × π
    -0.012481689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03921238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.0548095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.172189343435242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03921238} λ = -0.03921238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.172189343435242))-π/2
    2×atan(0.841819765031369)-π/2
    2×0.699725804366637-π/2
    1.39945160873327-1.57079632675     		φ = -0.17134472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03921238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.246704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17134472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.817329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32359 KachelY 34564 -0.03921238 -0.17134472 -2.246704 -9.817329
    Oben rechts KachelX + 1 32360 KachelY 34564 -0.03911651 -0.17134472 -2.241211 -9.817329
    Unten links KachelX 32359 KachelY + 1 34565 -0.03921238 -0.17143919 -2.246704 -9.822742
    Unten rechts KachelX + 1 32360 KachelY + 1 34565 -0.03911651 -0.17143919 -2.241211 -9.822742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17134472--0.17143919) × R
    9.44699999999854e-05 × 6371000     		dl = 601.868369999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17134472--0.17143919) × R
    9.44699999999854e-05 × 6371000     		dr = 601.868369999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03921238--0.03911651) × cos(-0.17134472) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985356372987213 × 6371000     		do = 601.843621712135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03921238--0.03911651) × cos(-0.17143919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985340260743814 × 6371000     		du = 601.833780550919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17134472)-sin(-0.17143919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985356372987213-0.985340260743814)×R²
    abs(-0.03911651--0.03921238)×1.61122433997019e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61122433997019e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61122433997019e-05×40589641000000     		ar = 362227.678322294m²