Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32353 / 16032
↖ ↑ ↗
← N 67.272043°
W  2.279663°		 ← 236.01 m → N 67.272043°
W  2.274170°		 →
↑
235.98 m
↓
↑
235.98 m
↓
N 67.269920°
W  2.279663°		 ← 236.03 m →
55 696 m²		 N 67.269920°
W  2.274170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493675231933594 y=0.244636535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493675231933594 × 216)
    floor (0.493675231933594 × 65536)
    floor (32353.5)     		tx = 32353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244636535644531 × 216)
    floor (0.244636535644531 × 65536)
    floor (16032.5)     		ty = 16032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32353 / 16032 ti = "16/32353/16032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32353/16032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32353 ÷ 216
    32353 ÷ 65536     		x = 0.493667602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16032 ÷ 216
    16032 ÷ 65536     		y = 0.24462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493667602539062 × 2 - 1) × π
    -0.012664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03978763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24462890625 × 2 - 1) × π
    0.5107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.60454390408252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03978763} λ = -0.03978763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60454390408252))-π/2
    2×atan(4.97558973897423)-π/2
    2×1.37245748299026-π/2
    2.74491496598052-1.57079632675     		φ = 1.17411864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03978763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.279663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17411864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.272043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32353 KachelY 16032 -0.03978763 1.17411864 -2.279663 67.272043
    Oben rechts KachelX + 1 32354 KachelY 16032 -0.03969175 1.17411864 -2.274170 67.272043
    Unten links KachelX 32353 KachelY + 1 16033 -0.03978763 1.17408160 -2.279663 67.269920
    Unten rechts KachelX + 1 32354 KachelY + 1 16033 -0.03969175 1.17408160 -2.274170 67.269920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17411864-1.17408160) × R
    3.70400000000437e-05 × 6371000     		dl = 235.981840000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17411864-1.17408160) × R
    3.70400000000437e-05 × 6371000     		dr = 235.981840000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03978763--0.03969175) × cos(1.17411864) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.38635614568282 × 6371000     		do = 236.006223397445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03978763--0.03969175) × cos(1.17408160) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.386390309249856 × 6371000     		du = 236.027092262931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17411864)-sin(1.17408160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38635614568282-0.386390309249856)×R²
    abs(-0.03969175--0.03978763)×3.41635670361717e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.41635670361717e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.41635670361717e-05×40589641000000     		ar = 55695.6451915249m²