Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32352 / 16030
↖ ↑ ↗
← N 67.276287°
W  2.285156°		 ← 235.94 m → N 67.276287°
W  2.279663°		 →
↑
235.98 m
↓
↑
235.98 m
↓
N 67.274165°
W  2.285156°		 ← 235.96 m →
55 680 m²		 N 67.274165°
W  2.279663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493659973144531 y=0.244606018066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493659973144531 × 216)
    floor (0.493659973144531 × 65536)
    floor (32352.5)     		tx = 32352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244606018066406 × 216)
    floor (0.244606018066406 × 65536)
    floor (16030.5)     		ty = 16030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32352 / 16030 ti = "16/32352/16030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32352/16030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32352 ÷ 216
    32352 ÷ 65536     		x = 0.49365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16030 ÷ 216
    16030 ÷ 65536     		y = 0.244598388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49365234375 × 2 - 1) × π
    -0.0126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03988350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244598388671875 × 2 - 1) × π
    0.51080322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.604735651681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03988350} λ = -0.03988350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.604735651681))-π/2
    2×atan(4.97654388783266)-π/2
    2×1.3724945211465-π/2
    2.74498904229299-1.57079632675     		φ = 1.17419272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03988350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.285156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17419272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.276287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32352 KachelY 16030 -0.03988350 1.17419272 -2.285156 67.276287
    Oben rechts KachelX + 1 32353 KachelY 16030 -0.03978763 1.17419272 -2.279663 67.276287
    Unten links KachelX 32352 KachelY + 1 16031 -0.03988350 1.17415568 -2.285156 67.274165
    Unten rechts KachelX + 1 32353 KachelY + 1 16031 -0.03978763 1.17415568 -2.279663 67.274165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17419272-1.17415568) × R
    3.70400000000437e-05 × 6371000     		dl = 235.981840000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17419272-1.17415568) × R
    3.70400000000437e-05 × 6371000     		dr = 235.981840000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03988350--0.03978763) × cos(1.17419272) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.386287816958597 × 6371000     		do = 235.939874298322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03988350--0.03978763) × cos(1.17415568) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.386321981585718 × 6371000     		du = 235.960741634734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17419272)-sin(1.17415568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386287816958597-0.386321981585718)×R²
    abs(-0.03978763--0.03988350)×3.41646271209139e-05×R²
    9.58700000000048e-05×3.41646271209139e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×3.41646271209139e-05×40589641000000     		ar = 55679.9878291476m²