Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32344 / 47492
↖ ↑ ↗
← S 62.603453°
W  2.329102°		 ← 281.05 m → S 62.603453°
W  2.323609°		 →
↑
281.09 m
↓
↑
281.09 m
↓
S 62.605981°
W  2.329102°		 ← 281.03 m →
78 997 m²		 S 62.605981°
W  2.323609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493537902832031 y=0.724678039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493537902832031 × 216)
    floor (0.493537902832031 × 65536)
    floor (32344.5)     		tx = 32344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724678039550781 × 216)
    floor (0.724678039550781 × 65536)
    floor (47492.5)     		ty = 47492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32344 / 47492 ti = "16/32344/47492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32344/47492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32344 ÷ 216
    32344 ÷ 65536     		x = 0.4935302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47492 ÷ 216
    47492 ÷ 65536     		y = 0.72467041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4935302734375 × 2 - 1) × π
    -0.012939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04065049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.4493408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41164582001141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04065049} λ = -0.04065049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41164582001141))-π/2
    2×atan(0.24374179772937)-π/2
    2×0.239079972787091-π/2
    0.478159945574182-1.57079632675     		φ = -1.09263638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04065049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.329102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09263638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.603453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32344 KachelY 47492 -0.04065049 -1.09263638 -2.329102 -62.603453
    Oben rechts KachelX + 1 32345 KachelY 47492 -0.04055462 -1.09263638 -2.323609 -62.603453
    Unten links KachelX 32344 KachelY + 1 47493 -0.04065049 -1.09268050 -2.329102 -62.605981
    Unten rechts KachelX + 1 32345 KachelY + 1 47493 -0.04055462 -1.09268050 -2.323609 -62.605981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09263638--1.09268050) × R
    4.41199999998698e-05 × 6371000     		dl = 281.088519999171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09263638--1.09268050) × R
    4.41199999998698e-05 × 6371000     		dr = 281.088519999171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04065049--0.04055462) × cos(-1.09263638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.46014627686714 × 6371000     		do = 281.051718321477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04065049--0.04055462) × cos(-1.09268050) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.46010710478089 × 6371000     		du = 281.02779249027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09263638)-sin(-1.09268050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46014627686714-0.46010710478089)×R²
    abs(-0.04055462--0.04065049)×3.91720862502054e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91720862502054e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91720862502054e-05×40589641000000     		ar = 78997.0489206553m²