Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32336 / 47514
↖ ↑ ↗
← S 62.659009°
W  2.373047°		 ← 280.53 m → S 62.659009°
W  2.367554°		 →
↑
280.58 m
↓
↑
280.58 m
↓
S 62.661533°
W  2.373047°		 ← 280.50 m →
78 706 m²		 S 62.661533°
W  2.367554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493415832519531 y=0.725013732910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493415832519531 × 216)
    floor (0.493415832519531 × 65536)
    floor (32336.5)     		tx = 32336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725013732910156 × 216)
    floor (0.725013732910156 × 65536)
    floor (47514.5)     		ty = 47514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32336 / 47514 ti = "16/32336/47514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32336/47514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32336 ÷ 216
    32336 ÷ 65536     		x = 0.493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47514 ÷ 216
    47514 ÷ 65536     		y = 0.725006103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.01318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04141748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725006103515625 × 2 - 1) × π
    -0.45001220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4137550435947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04141748} λ = -0.04141748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4137550435947))-π/2
    2×atan(0.243228233582569)-π/2
    2×0.238595151269378-π/2
    0.477190302538756-1.57079632675     		φ = -1.09360602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04141748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.373047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09360602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.659009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32336 KachelY 47514 -0.04141748 -1.09360602 -2.373047 -62.659009
    Oben rechts KachelX + 1 32337 KachelY 47514 -0.04132161 -1.09360602 -2.367554 -62.659009
    Unten links KachelX 32336 KachelY + 1 47515 -0.04141748 -1.09365006 -2.373047 -62.661533
    Unten rechts KachelX + 1 32337 KachelY + 1 47515 -0.04132161 -1.09365006 -2.367554 -62.661533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09360602--1.09365006) × R
    4.4040000000134e-05 × 6371000     		dl = 280.578840000854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09360602--1.09365006) × R
    4.4040000000134e-05 × 6371000     		dr = 280.578840000854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04141748--0.04132161) × cos(-1.09360602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459285172485027 × 6371000     		do = 280.525766296189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04141748--0.04132161) × cos(-1.09365006) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459246051797466 × 6371000     		du = 280.501871858673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09360602)-sin(-1.09365006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459285172485027-0.459246051797466)×R²
    abs(-0.04132161--0.04141748)×3.91206875604011e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91206875604011e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91206875604011e-05×40589641000000     		ar = 78706.2419736435m²