Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32335 / 47510
↖ ↑ ↗
← S 62.648916°
W  2.378540°		 ← 280.65 m → S 62.648916°
W  2.373047°		 →
↑
280.64 m
↓
↑
280.64 m
↓
S 62.651440°
W  2.378540°		 ← 280.63 m →
78 759 m²		 S 62.651440°
W  2.373047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493400573730469 y=0.724952697753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493400573730469 × 216)
    floor (0.493400573730469 × 65536)
    floor (32335.5)     		tx = 32335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724952697753906 × 216)
    floor (0.724952697753906 × 65536)
    floor (47510.5)     		ty = 47510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32335 / 47510 ti = "16/32335/47510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32335/47510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32335 ÷ 216
    32335 ÷ 65536     		x = 0.493392944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47510 ÷ 216
    47510 ÷ 65536     		y = 0.724945068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493392944335938 × 2 - 1) × π
    -0.013214111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04151336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724945068359375 × 2 - 1) × π
    -0.44989013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41337154839774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04151336} λ = -0.04151336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41337154839774))-π/2
    2×atan(0.243321528329813)-π/2
    2×0.238683233098924-π/2
    0.477366466197848-1.57079632675     		φ = -1.09342986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04151336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.378540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09342986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.648916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32335 KachelY 47510 -0.04151336 -1.09342986 -2.378540 -62.648916
    Oben rechts KachelX + 1 32336 KachelY 47510 -0.04141748 -1.09342986 -2.373047 -62.648916
    Unten links KachelX 32335 KachelY + 1 47511 -0.04151336 -1.09347391 -2.378540 -62.651440
    Unten rechts KachelX + 1 32336 KachelY + 1 47511 -0.04141748 -1.09347391 -2.373047 -62.651440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09342986--1.09347391) × R
    4.40499999998512e-05 × 6371000     		dl = 280.642549999052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09342986--1.09347391) × R
    4.40499999998512e-05 × 6371000     		dr = 280.642549999052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04151336--0.04141748) × cos(-1.09342986) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.459441646326574 × 6371000     		do = 280.650609632223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04151336--0.04141748) × cos(-1.09347391) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.459402520320361 × 6371000     		du = 280.626709453421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09342986)-sin(-1.09347391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459441646326574-0.459402520320361)×R²
    abs(-0.04141748--0.04151336)×3.9126006212753e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.9126006212753e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.9126006212753e-05×40589641000000     		ar = 78759.1490550693m²