Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32332 / 15930
↖ ↑ ↗
← N 67.487545°
W  2.395020°		 ← 233.89 m → N 67.487545°
W  2.389526°		 →
↑
233.88 m
↓
↑
233.88 m
↓
N 67.485442°
W  2.395020°		 ← 233.91 m →
54 703 m²		 N 67.485442°
W  2.389526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493354797363281 y=0.243080139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493354797363281 × 216)
    floor (0.493354797363281 × 65536)
    floor (32332.5)     		tx = 32332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243080139160156 × 216)
    floor (0.243080139160156 × 65536)
    floor (15930.5)     		ty = 15930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32332 / 15930 ti = "16/32332/15930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32332/15930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32332 ÷ 216
    32332 ÷ 65536     		x = 0.49334716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15930 ÷ 216
    15930 ÷ 65536     		y = 0.243072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49334716796875 × 2 - 1) × π
    -0.0133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04180098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243072509765625 × 2 - 1) × π
    0.51385498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.61432303160501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04180098} λ = -0.04180098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61432303160501))-π/2
    2×atan(5.02448535409692)-π/2
    2×1.37433809742894-π/2
    2.74867619485788-1.57079632675     		φ = 1.17787987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04180098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.395020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17787987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.487545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32332 KachelY 15930 -0.04180098 1.17787987 -2.395020 67.487545
    Oben rechts KachelX + 1 32333 KachelY 15930 -0.04170510 1.17787987 -2.389526 67.487545
    Unten links KachelX 32332 KachelY + 1 15931 -0.04180098 1.17784316 -2.395020 67.485442
    Unten rechts KachelX + 1 32333 KachelY + 1 15931 -0.04170510 1.17784316 -2.389526 67.485442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17787987-1.17784316) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dl = 233.879410000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17787987-1.17784316) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dr = 233.879410000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04180098--0.04170510) × cos(1.17787987) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.382884251724474 × 6371000     		do = 233.885411834586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04180098--0.04170510) × cos(1.17784316) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.382918164029559 × 6371000     		du = 233.906127216338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17787987)-sin(1.17784316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382884251724474-0.382918164029559)×R²
    abs(-0.04170510--0.04180098)×3.39123050851486e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.39123050851486e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.39123050851486e-05×40589641000000     		ar = 54703.4045841785m²