Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32329 / 15933
↖ ↑ ↗
← N 67.481235°
W  2.411499°		 ← 233.95 m → N 67.481235°
W  2.406006°		 →
↑
233.94 m
↓
↑
233.94 m
↓
N 67.479131°
W  2.411499°		 ← 233.97 m →
54 733 m²		 N 67.479131°
W  2.406006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493309020996094 y=0.243125915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493309020996094 × 216)
    floor (0.493309020996094 × 65536)
    floor (32329.5)     		tx = 32329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243125915527344 × 216)
    floor (0.243125915527344 × 65536)
    floor (15933.5)     		ty = 15933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32329 / 15933 ti = "16/32329/15933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32329/15933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32329 ÷ 216
    32329 ÷ 65536     		x = 0.493301391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15933 ÷ 216
    15933 ÷ 65536     		y = 0.243118286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493301391601562 × 2 - 1) × π
    -0.013397216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04208860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243118286132812 × 2 - 1) × π
    0.513763427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.61403541020729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04208860} λ = -0.04208860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61403541020729))-π/2
    2×atan(5.02304041240459)-π/2
    2×1.37428302726113-π/2
    2.74856605452225-1.57079632675     		φ = 1.17776973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04208860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.411499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17776973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.481235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32329 KachelY 15933 -0.04208860 1.17776973 -2.411499 67.481235
    Oben rechts KachelX + 1 32330 KachelY 15933 -0.04199272 1.17776973 -2.406006 67.481235
    Unten links KachelX 32329 KachelY + 1 15934 -0.04208860 1.17773301 -2.411499 67.479131
    Unten rechts KachelX + 1 32330 KachelY + 1 15934 -0.04199272 1.17773301 -2.406006 67.479131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17776973-1.17773301) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dl = 233.943119999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17776973-1.17773301) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dr = 233.943119999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04208860--0.04199272) × cos(1.17776973) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.382985996329136 × 6371000     		do = 233.947562676926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04208860--0.04199272) × cos(1.17773301) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.383019916323255 × 6371000     		du = 233.968282755535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17776973)-sin(1.17773301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382985996329136-0.383019916323255)×R²
    abs(-0.04199272--0.04208860)×3.39199941190027e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.39199941190027e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.39199941190027e-05×40589641000000     		ar = 54732.8463949762m²