Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32328 / 38744
↖ ↑ ↗
← S 31.165810°
W  2.416992°		 ← 522.63 m → S 31.165810°
W  2.411499°		 →
↑
522.68 m
↓
↑
522.68 m
↓
S 31.170510°
W  2.416992°		 ← 522.61 m →
273 162 m²		 S 31.170510°
W  2.411499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493293762207031 y=0.591194152832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493293762207031 × 216)
    floor (0.493293762207031 × 65536)
    floor (32328.5)     		tx = 32328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591194152832031 × 216)
    floor (0.591194152832031 × 65536)
    floor (38744.5)     		ty = 38744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32328 / 38744 ti = "16/32328/38744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32328/38744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32328 ÷ 216
    32328 ÷ 65536     		x = 0.4932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38744 ÷ 216
    38744 ÷ 65536     		y = 0.5911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.013427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04218447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.182373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.572941824258911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04218447} λ = -0.04218447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.572941824258911))-π/2
    2×atan(0.563864206968912)-π/2
    2×0.51342516772555-π/2
    1.0268503354511-1.57079632675     		φ = -0.54394599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04218447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.416992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54394599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.165810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32328 KachelY 38744 -0.04218447 -0.54394599 -2.416992 -31.165810
    Oben rechts KachelX + 1 32329 KachelY 38744 -0.04208860 -0.54394599 -2.411499 -31.165810
    Unten links KachelX 32328 KachelY + 1 38745 -0.04218447 -0.54402803 -2.416992 -31.170510
    Unten rechts KachelX + 1 32329 KachelY + 1 38745 -0.04208860 -0.54402803 -2.411499 -31.170510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54394599--0.54402803) × R
    8.20400000000054e-05 × 6371000     		dl = 522.676840000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54394599--0.54402803) × R
    8.20400000000054e-05 × 6371000     		dr = 522.676840000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04218447--0.04208860) × cos(-0.54394599) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.855673233534667 × 6371000     		do = 522.634746159355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04218447--0.04208860) × cos(-0.54402803) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.855630773602295 × 6371000     		du = 522.608812151947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54394599)-sin(-0.54402803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855673233534667-0.855630773602295)×R²
    abs(-0.04208860--0.04218447)×4.24599323719521e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.24599323719521e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.24599323719521e-05×40589641000000     		ar = 273162.300197602m²