Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32328 / 15934
↖ ↑ ↗
← N 67.479131°
W  2.416992°		 ← 233.94 m → N 67.479131°
W  2.411499°		 →
↑
234.01 m
↓
↑
234.01 m
↓
N 67.477026°
W  2.416992°		 ← 233.96 m →
54 747 m²		 N 67.477026°
W  2.411499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493293762207031 y=0.243141174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493293762207031 × 216)
    floor (0.493293762207031 × 65536)
    floor (32328.5)     		tx = 32328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243141174316406 × 216)
    floor (0.243141174316406 × 65536)
    floor (15934.5)     		ty = 15934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32328 / 15934 ti = "16/32328/15934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32328/15934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32328 ÷ 216
    32328 ÷ 65536     		x = 0.4932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15934 ÷ 216
    15934 ÷ 65536     		y = 0.243133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.013427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04218447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243133544921875 × 2 - 1) × π
    0.51373291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61393953640805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04218447} λ = -0.04218447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61393953640805))-π/2
    2×atan(5.02255885752113)-π/2
    2×1.37426466728676-π/2
    2.74852933457353-1.57079632675     		φ = 1.17773301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04218447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.416992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17773301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.479131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32328 KachelY 15934 -0.04218447 1.17773301 -2.416992 67.479131
    Oben rechts KachelX + 1 32329 KachelY 15934 -0.04208860 1.17773301 -2.411499 67.479131
    Unten links KachelX 32328 KachelY + 1 15935 -0.04218447 1.17769628 -2.416992 67.477026
    Unten rechts KachelX + 1 32329 KachelY + 1 15935 -0.04208860 1.17769628 -2.411499 67.477026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17773301-1.17769628) × R
    3.67300000001514e-05 × 6371000     		dl = 234.006830000964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17773301-1.17769628) × R
    3.67300000001514e-05 × 6371000     		dr = 234.006830000964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04218447--0.04208860) × cos(1.17773301) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.383019916323255 × 6371000     		do = 233.943880556679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04218447--0.04208860) × cos(1.17769628) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.383053845038186 × 6371000     		du = 233.964603800811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17773301)-sin(1.17769628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383019916323255-0.383053845038186)×R²
    abs(-0.04208860--0.04218447)×3.39287149312417e-05×R²
    9.58700000000048e-05×3.39287149312417e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×3.39287149312417e-05×40589641000000     		ar = 54746.8905838087m²