Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32327 / 47529
↖ ↑ ↗
← S 62.696829°
W  2.422486°		 ← 280.20 m → S 62.696829°
W  2.416992°		 →
↑
280.20 m
↓
↑
280.20 m
↓
S 62.699349°
W  2.422486°		 ← 280.17 m →
78 507 m²		 S 62.699349°
W  2.416992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493278503417969 y=0.725242614746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493278503417969 × 216)
    floor (0.493278503417969 × 65536)
    floor (32327.5)     		tx = 32327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725242614746094 × 216)
    floor (0.725242614746094 × 65536)
    floor (47529.5)     		ty = 47529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32327 / 47529 ti = "16/32327/47529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32327/47529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32327 ÷ 216
    32327 ÷ 65536     		x = 0.493270874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47529 ÷ 216
    47529 ÷ 65536     		y = 0.725234985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493270874023438 × 2 - 1) × π
    -0.013458251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04228035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725234985351562 × 2 - 1) × π
    -0.450469970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4151931505833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04228035} λ = -0.04228035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4151931505833))-π/2
    2×atan(0.242878696755946)-π/2
    2×0.238265111538174-π/2
    0.476530223076347-1.57079632675     		φ = -1.09426610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04228035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.422486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09426610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.696829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32327 KachelY 47529 -0.04228035 -1.09426610 -2.422486 -62.696829
    Oben rechts KachelX + 1 32328 KachelY 47529 -0.04218447 -1.09426610 -2.416992 -62.696829
    Unten links KachelX 32327 KachelY + 1 47530 -0.04228035 -1.09431008 -2.422486 -62.699349
    Unten rechts KachelX + 1 32328 KachelY + 1 47530 -0.04218447 -1.09431008 -2.416992 -62.699349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09426610--1.09431008) × R
    4.39800000000545e-05 × 6371000     		dl = 280.196580000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09426610--1.09431008) × R
    4.39800000000545e-05 × 6371000     		dr = 280.196580000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04228035--0.04218447) × cos(-1.09426610) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.458698730748621 × 6371000     		do = 280.196798551916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04228035--0.04218447) × cos(-1.09431008) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.45865965003549 × 6371000     		du = 280.17292604046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09426610)-sin(-1.09431008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458698730748621-0.45865965003549)×R²
    abs(-0.04218447--0.04228035)×3.90807131307458e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.90807131307458e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.90807131307458e-05×40589641000000     		ar = 78506.8401957784m²