Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32325 / 47526
↖ ↑ ↗
← S 62.689270°
W  2.433472°		 ← 280.24 m → S 62.689270°
W  2.427979°		 →
↑
280.20 m
↓
↑
280.20 m
↓
S 62.691789°
W  2.433472°		 ← 280.22 m →
78 519 m²		 S 62.691789°
W  2.427979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493247985839844 y=0.725196838378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493247985839844 × 216)
    floor (0.493247985839844 × 65536)
    floor (32325.5)     		tx = 32325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725196838378906 × 216)
    floor (0.725196838378906 × 65536)
    floor (47526.5)     		ty = 47526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32325 / 47526 ti = "16/32325/47526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32325/47526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32325 ÷ 216
    32325 ÷ 65536     		x = 0.493240356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47526 ÷ 216
    47526 ÷ 65536     		y = 0.725189208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493240356445312 × 2 - 1) × π
    -0.013519287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04247209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725189208984375 × 2 - 1) × π
    -0.45037841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41490552918558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04247209} λ = -0.04247209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41490552918558))-π/2
    2×atan(0.242948563913347)-π/2
    2×0.238331085752963-π/2
    0.476662171505926-1.57079632675     		φ = -1.09413416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04247209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.433472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09413416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.689270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32325 KachelY 47526 -0.04247209 -1.09413416 -2.433472 -62.689270
    Oben rechts KachelX + 1 32326 KachelY 47526 -0.04237622 -1.09413416 -2.427979 -62.689270
    Unten links KachelX 32325 KachelY + 1 47527 -0.04247209 -1.09417814 -2.433472 -62.691789
    Unten rechts KachelX + 1 32326 KachelY + 1 47527 -0.04237622 -1.09417814 -2.427979 -62.691789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09413416--1.09417814) × R
    4.39799999998325e-05 × 6371000     		dl = 280.196579998933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09413416--1.09417814) × R
    4.39799999998325e-05 × 6371000     		dr = 280.196579998933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04247209--0.04237622) × cos(-1.09413416) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458815967564309 × 6371000     		do = 280.239181668991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04247209--0.04237622) × cos(-1.09417814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458776889513106 × 6371000     		du = 280.21531327324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09413416)-sin(-1.09417814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458815967564309-0.458776889513106)×R²
    abs(-0.04237622--0.04247209)×3.9078051202901e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9078051202901e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9078051202901e-05×40589641000000     		ar = 78518.7163766065m²