Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32325 / 15931
↖ ↑ ↗
← N 67.485442°
W  2.433472°		 ← 233.88 m → N 67.485442°
W  2.427979°		 →
↑
233.94 m
↓
↑
233.94 m
↓
N 67.483338°
W  2.433472°		 ← 233.90 m →
54 717 m²		 N 67.483338°
W  2.427979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493247985839844 y=0.243095397949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493247985839844 × 216)
    floor (0.493247985839844 × 65536)
    floor (32325.5)     		tx = 32325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243095397949219 × 216)
    floor (0.243095397949219 × 65536)
    floor (15931.5)     		ty = 15931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32325 / 15931 ti = "16/32325/15931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32325/15931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32325 ÷ 216
    32325 ÷ 65536     		x = 0.493240356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15931 ÷ 216
    15931 ÷ 65536     		y = 0.243087768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493240356445312 × 2 - 1) × π
    -0.013519287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04247209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243087768554688 × 2 - 1) × π
    0.513824462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61422715780577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04247209} λ = -0.04247209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61422715780577))-π/2
    2×atan(5.02400366068806)-π/2
    2×1.37431974233209-π/2
    2.74863948466419-1.57079632675     		φ = 1.17784316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04247209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.433472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17784316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.485442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32325 KachelY 15931 -0.04247209 1.17784316 -2.433472 67.485442
    Oben rechts KachelX + 1 32326 KachelY 15931 -0.04237622 1.17784316 -2.427979 67.485442
    Unten links KachelX 32325 KachelY + 1 15932 -0.04247209 1.17780644 -2.433472 67.483338
    Unten rechts KachelX + 1 32326 KachelY + 1 15932 -0.04237622 1.17780644 -2.427979 67.483338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17784316-1.17780644) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dl = 233.943119999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17784316-1.17780644) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dr = 233.943119999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04247209--0.04237622) × cos(1.17784316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382918164029559 × 6371000     		do = 233.881731500103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04247209--0.04237622) × cos(1.17780644) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382952085056296 × 6371000     		du = 233.902450048381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17784316)-sin(1.17780644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382918164029559-0.382952085056296)×R²
    abs(-0.04237622--0.04247209)×3.39210267374934e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39210267374934e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39210267374934e-05×40589641000000     		ar = 54717.4454652941m²