Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32323 / 37697
↖ ↑ ↗
← S 26.120918°
W  2.444458°		 ← 548.41 m → S 26.120918°
W  2.438965°		 →
↑
548.42 m
↓
↑
548.42 m
↓
S 26.125850°
W  2.444458°		 ← 548.38 m →
300 748 m²		 S 26.125850°
W  2.438965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493217468261719 y=0.575218200683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493217468261719 × 216)
    floor (0.493217468261719 × 65536)
    floor (32323.5)     		tx = 32323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575218200683594 × 216)
    floor (0.575218200683594 × 65536)
    floor (37697.5)     		ty = 37697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32323 / 37697 ti = "16/32323/37697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32323/37697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32323 ÷ 216
    32323 ÷ 65536     		x = 0.493209838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37697 ÷ 216
    37697 ÷ 65536     		y = 0.575210571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493209838867188 × 2 - 1) × π
    -0.013580322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04266384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575210571289062 × 2 - 1) × π
    -0.150421142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.472561956454514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04266384} λ = -0.04266384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.472561956454514))-π/2
    2×atan(0.623403089075834)-π/2
    2×0.557450150639016-π/2
    1.11490030127803-1.57079632675     		φ = -0.45589603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04266384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.444458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45589603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.120918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32323 KachelY 37697 -0.04266384 -0.45589603 -2.444458 -26.120918
    Oben rechts KachelX + 1 32324 KachelY 37697 -0.04256797 -0.45589603 -2.438965 -26.120918
    Unten links KachelX 32323 KachelY + 1 37698 -0.04266384 -0.45598211 -2.444458 -26.125850
    Unten rechts KachelX + 1 32324 KachelY + 1 37698 -0.04256797 -0.45598211 -2.438965 -26.125850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45589603--0.45598211) × R
    8.60799999999884e-05 × 6371000     		dl = 548.415679999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45589603--0.45598211) × R
    8.60799999999884e-05 × 6371000     		dr = 548.415679999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04266384--0.04256797) × cos(-0.45589603) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.897866896220929 × 6371000     		do = 548.40611929963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04266384--0.04256797) × cos(-0.45598211) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.897828994710597 × 6371000     		du = 548.382969520655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45589603)-sin(-0.45598211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897866896220929-0.897828994710597)×R²
    abs(-0.04256797--0.04266384)×3.79015103312286e-05×R²
    9.58700000000048e-05×3.79015103312286e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×3.79015103312286e-05×40589641000000     		ar = 300748.167166603m²