Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32322 / 37699
↖ ↑ ↗
← S 26.130782°
W  2.449951°		 ← 548.36 m → S 26.130782°
W  2.444458°		 →
↑
548.35 m
↓
↑
548.35 m
↓
S 26.135713°
W  2.449951°		 ← 548.34 m →
300 688 m²		 S 26.135713°
W  2.444458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493202209472656 y=0.575248718261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493202209472656 × 216)
    floor (0.493202209472656 × 65536)
    floor (32322.5)     		tx = 32322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575248718261719 × 216)
    floor (0.575248718261719 × 65536)
    floor (37699.5)     		ty = 37699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32322 / 37699 ti = "16/32322/37699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32322/37699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32322 ÷ 216
    32322 ÷ 65536     		x = 0.493194580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37699 ÷ 216
    37699 ÷ 65536     		y = 0.575241088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493194580078125 × 2 - 1) × π
    -0.01361083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04275971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575241088867188 × 2 - 1) × π
    -0.150482177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.472753704052994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04275971} λ = -0.04275971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.472753704052994))-π/2
    2×atan(0.623283564490261)-π/2
    2×0.55736407236212-π/2
    1.11472814472424-1.57079632675     		φ = -0.45606818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04275971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.449951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45606818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.130782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32322 KachelY 37699 -0.04275971 -0.45606818 -2.449951 -26.130782
    Oben rechts KachelX + 1 32323 KachelY 37699 -0.04266384 -0.45606818 -2.444458 -26.130782
    Unten links KachelX 32322 KachelY + 1 37700 -0.04275971 -0.45615425 -2.449951 -26.135713
    Unten rechts KachelX + 1 32323 KachelY + 1 37700 -0.04266384 -0.45615425 -2.444458 -26.135713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45606818--0.45615425) × R
    8.60699999999937e-05 × 6371000     		dl = 548.35196999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45606818--0.45615425) × R
    8.60699999999937e-05 × 6371000     		dr = 548.35196999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04275971--0.04266384) × cos(-0.45606818) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897791090951779 × 6371000     		do = 548.359818368292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04275971--0.04266384) × cos(-0.45615425) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897753180542083 × 6371000     		du = 548.336663153694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45606818)-sin(-0.45615425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897791090951779-0.897753180542083)×R²
    abs(-0.04266384--0.04275971)×3.79104096953631e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79104096953631e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79104096953631e-05×40589641000000     		ar = 300687.838253025m²