Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32320 / 37696
↖ ↑ ↗
← S 26.115986°
W  2.460937°		 ← 548.43 m → S 26.115986°
W  2.455444°		 →
↑
548.48 m
↓
↑
548.48 m
↓
S 26.120918°
W  2.460937°		 ← 548.41 m →
300 796 m²		 S 26.120918°
W  2.455444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493171691894531 y=0.575202941894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493171691894531 × 216)
    floor (0.493171691894531 × 65536)
    floor (32320.5)     		tx = 32320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575202941894531 × 216)
    floor (0.575202941894531 × 65536)
    floor (37696.5)     		ty = 37696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32320 / 37696 ti = "16/32320/37696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32320/37696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32320 ÷ 216
    32320 ÷ 65536     		x = 0.4931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37696 ÷ 216
    37696 ÷ 65536     		y = 0.5751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4931640625 × 2 - 1) × π
    -0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5751953125 × 2 - 1) × π
    -0.150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.472466082655273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04295146} λ = -0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.472466082655273))-π/2
    2×atan(0.623462859963627)-π/2
    2×0.557493192502727-π/2
    1.11498638500545-1.57079632675     		φ = -0.45580994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45580994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.115986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32320 KachelY 37696 -0.04295146 -0.45580994 -2.460937 -26.115986
    Oben rechts KachelX + 1 32321 KachelY 37696 -0.04285559 -0.45580994 -2.455444 -26.115986
    Unten links KachelX 32320 KachelY + 1 37697 -0.04295146 -0.45589603 -2.460937 -26.120918
    Unten rechts KachelX + 1 32321 KachelY + 1 37697 -0.04285559 -0.45589603 -2.455444 -26.120918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45580994--0.45589603) × R
    8.60899999999831e-05 × 6371000     		dl = 548.479389999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45580994--0.45589603) × R
    8.60899999999831e-05 × 6371000     		dr = 548.479389999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04295146--0.04285559) × cos(-0.45580994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897904795480173 × 6371000     		do = 548.429267703629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04295146--0.04285559) × cos(-0.45589603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897866896220929 × 6371000     		du = 548.40611929959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45580994)-sin(-0.45589603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897904795480173-0.897866896220929)×R²
    abs(-0.04285559--0.04295146)×3.78992592444671e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.78992592444671e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.78992592444671e-05×40589641000000     		ar = 300795.802182752m²