Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32316 / 37756
↖ ↑ ↗
← S 26.411551°
W  2.482910°		 ← 547.09 m → S 26.411551°
W  2.477417°		 →
↑
547.01 m
↓
↑
547.01 m
↓
S 26.416470°
W  2.482910°		 ← 547.07 m →
299 261 m²		 S 26.416470°
W  2.477417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493110656738281 y=0.576118469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493110656738281 × 216)
    floor (0.493110656738281 × 65536)
    floor (32316.5)     		tx = 32316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576118469238281 × 216)
    floor (0.576118469238281 × 65536)
    floor (37756.5)     		ty = 37756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32316 / 37756 ti = "16/32316/37756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32316/37756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32316 ÷ 216
    32316 ÷ 65536     		x = 0.49310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37756 ÷ 216
    37756 ÷ 65536     		y = 0.57611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.0137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04333496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57611083984375 × 2 - 1) × π
    -0.1522216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.47821851060968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04333496} λ = -0.04333496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.47821851060968))-π/2
    2×atan(0.619886730354703)-π/2
    2×0.554913904605833-π/2
    1.10982780921167-1.57079632675     		φ = -0.46096852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04333496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.482910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46096852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.411551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32316 KachelY 37756 -0.04333496 -0.46096852 -2.482910 -26.411551
    Oben rechts KachelX + 1 32317 KachelY 37756 -0.04323908 -0.46096852 -2.477417 -26.411551
    Unten links KachelX 32316 KachelY + 1 37757 -0.04333496 -0.46105438 -2.482910 -26.416470
    Unten rechts KachelX + 1 32317 KachelY + 1 37757 -0.04323908 -0.46105438 -2.477417 -26.416470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46096852--0.46105438) × R
    8.58599999999932e-05 × 6371000     		dl = 547.014059999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46096852--0.46105438) × R
    8.58599999999932e-05 × 6371000     		dr = 547.014059999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04333496--0.04323908) × cos(-0.46096852) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.895622104709715 × 6371000     		do = 547.092088182642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04333496--0.04323908) × cos(-0.46105438) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.8955839095288 × 6371000     		du = 547.068756599851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46096852)-sin(-0.46105438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895622104709715-0.8955839095288)×R²
    abs(-0.04323908--0.04333496)×3.81951809154124e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.81951809154124e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.81951809154124e-05×40589641000000     		ar = 299260.6831825m²