Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32314 / 38742
↖ ↑ ↗
← S 31.156408°
W  2.493896°		 ← 522.69 m → S 31.156408°
W  2.488403°		 →
↑
522.68 m
↓
↑
522.68 m
↓
S 31.161109°
W  2.493896°		 ← 522.66 m →
273 189 m²		 S 31.161109°
W  2.488403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493080139160156 y=0.591163635253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493080139160156 × 216)
    floor (0.493080139160156 × 65536)
    floor (32314.5)     		tx = 32314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591163635253906 × 216)
    floor (0.591163635253906 × 65536)
    floor (38742.5)     		ty = 38742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32314 / 38742 ti = "16/32314/38742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32314/38742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32314 ÷ 216
    32314 ÷ 65536     		x = 0.493072509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38742 ÷ 216
    38742 ÷ 65536     		y = 0.591156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493072509765625 × 2 - 1) × π
    -0.01385498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04352670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591156005859375 × 2 - 1) × π
    -0.18231201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.572750076660431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04352670} λ = -0.04352670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.572750076660431))-π/2
    2×atan(0.563972336942968)-π/2
    2×0.51350720843941-π/2
    1.02701441687882-1.57079632675     		φ = -0.54378191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04352670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.493896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54378191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.156408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32314 KachelY 38742 -0.04352670 -0.54378191 -2.493896 -31.156408
    Oben rechts KachelX + 1 32315 KachelY 38742 -0.04343083 -0.54378191 -2.488403 -31.156408
    Unten links KachelX 32314 KachelY + 1 38743 -0.04352670 -0.54386395 -2.493896 -31.161109
    Unten rechts KachelX + 1 32315 KachelY + 1 38743 -0.04343083 -0.54386395 -2.488403 -31.161109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54378191--0.54386395) × R
    8.20400000000054e-05 × 6371000     		dl = 522.676840000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54378191--0.54386395) × R
    8.20400000000054e-05 × 6371000     		dr = 522.676840000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04352670--0.04343083) × cos(-0.54378191) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.855758136121641 × 6371000     		do = 522.68660362112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04352670--0.04343083) × cos(-0.54386395) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.855715687707878 × 6371000     		du = 522.660676649137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54378191)-sin(-0.54386395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855758136121641-0.855715687707878)×R²
    abs(-0.04343083--0.04352670)×4.24484137633296e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.24484137633296e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.24484137633296e-05×40589641000000     		ar = 273189.406730601m²