Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32313 / 38788
↖ ↑ ↗
← S 31.372399°
W  2.499390°		 ← 521.55 m → S 31.372399°
W  2.493896°		 →
↑
521.47 m
↓
↑
521.47 m
↓
S 31.377089°
W  2.499390°		 ← 521.52 m →
271 962 m²		 S 31.377089°
W  2.493896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493064880371094 y=0.591865539550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493064880371094 × 216)
    floor (0.493064880371094 × 65536)
    floor (32313.5)     		tx = 32313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591865539550781 × 216)
    floor (0.591865539550781 × 65536)
    floor (38788.5)     		ty = 38788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32313 / 38788 ti = "16/32313/38788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32313/38788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32313 ÷ 216
    32313 ÷ 65536     		x = 0.493057250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38788 ÷ 216
    38788 ÷ 65536     		y = 0.59185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493057250976562 × 2 - 1) × π
    -0.013885498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04362258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.1837158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.577160271425476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04362258} λ = -0.04362258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.577160271425476))-π/2
    2×atan(0.561490585620762)-π/2
    2×0.511622334089547-π/2
    1.02324466817909-1.57079632675     		φ = -0.54755166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04362258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.499390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54755166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.372399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32313 KachelY 38788 -0.04362258 -0.54755166 -2.499390 -31.372399
    Oben rechts KachelX + 1 32314 KachelY 38788 -0.04352670 -0.54755166 -2.493896 -31.372399
    Unten links KachelX 32313 KachelY + 1 38789 -0.04362258 -0.54763351 -2.499390 -31.377089
    Unten rechts KachelX + 1 32314 KachelY + 1 38789 -0.04352670 -0.54763351 -2.493896 -31.377089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54755166--0.54763351) × R
    8.18500000000499e-05 × 6371000     		dl = 521.466350000318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54755166--0.54763351) × R
    8.18500000000499e-05 × 6371000     		dr = 521.466350000318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04362258--0.04352670) × cos(-0.54755166) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.853801681659168 × 6371000     		do = 521.54602086799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04362258--0.04352670) × cos(-0.54763351) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.853759067820634 × 6371000     		du = 521.519990141652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54755166)-sin(-0.54763351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853801681659168-0.853759067820634)×R²
    abs(-0.04352670--0.04362258)×4.26138385344332e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.26138385344332e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.26138385344332e-05×40589641000000     		ar = 271961.91293702m²