Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32311 / 38779
↖ ↑ ↗
← S 31.330179°
W  2.510376°		 ← 521.78 m → S 31.330179°
W  2.504883°		 →
↑
521.72 m
↓
↑
521.72 m
↓
S 31.334871°
W  2.510376°		 ← 521.75 m →
272 217 m²		 S 31.334871°
W  2.504883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493034362792969 y=0.591728210449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493034362792969 × 216)
    floor (0.493034362792969 × 65536)
    floor (32311.5)     		tx = 32311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591728210449219 × 216)
    floor (0.591728210449219 × 65536)
    floor (38779.5)     		ty = 38779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32311 / 38779 ti = "16/32311/38779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32311/38779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32311 ÷ 216
    32311 ÷ 65536     		x = 0.493026733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38779 ÷ 216
    38779 ÷ 65536     		y = 0.591720581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493026733398438 × 2 - 1) × π
    -0.013946533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04381433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591720581054688 × 2 - 1) × π
    -0.183441162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.576297407232315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04381433} λ = -0.04381433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576297407232315))-π/2
    2×atan(0.561975284826613)-π/2
    2×0.511990774252626-π/2
    1.02398154850525-1.57079632675     		φ = -0.54681478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04381433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.510376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54681478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.330179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32311 KachelY 38779 -0.04381433 -0.54681478 -2.510376 -31.330179
    Oben rechts KachelX + 1 32312 KachelY 38779 -0.04371845 -0.54681478 -2.504883 -31.330179
    Unten links KachelX 32311 KachelY + 1 38780 -0.04381433 -0.54689667 -2.510376 -31.334871
    Unten rechts KachelX + 1 32312 KachelY + 1 38780 -0.04371845 -0.54689667 -2.504883 -31.334871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54681478--0.54689667) × R
    8.18900000000289e-05 × 6371000     		dl = 521.721190000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54681478--0.54689667) × R
    8.18900000000289e-05 × 6371000     		dr = 521.721190000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04381433--0.04371845) × cos(-0.54681478) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.854185068365631 × 6371000     		do = 521.780213205044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04381433--0.04371845) × cos(-0.54689667) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.854142485231692 × 6371000     		du = 521.754201234655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54681478)-sin(-0.54689667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854185068365631-0.854142485231692)×R²
    abs(-0.04371845--0.04381433)×4.25831339391225e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.25831339391225e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.25831339391225e-05×40589641000000     		ar = 272217.008406017m²