Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32309 / 37720
↖ ↑ ↗
← S 26.234302°
W  2.521362°		 ← 547.87 m → S 26.234302°
W  2.515869°		 →
↑
547.84 m
↓
↑
547.84 m
↓
S 26.239229°
W  2.521362°		 ← 547.85 m →
300 142 m²		 S 26.239229°
W  2.515869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493003845214844 y=0.575569152832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493003845214844 × 216)
    floor (0.493003845214844 × 65536)
    floor (32309.5)     		tx = 32309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575569152832031 × 216)
    floor (0.575569152832031 × 65536)
    floor (37720.5)     		ty = 37720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32309 / 37720 ti = "16/32309/37720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32309/37720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32309 ÷ 216
    32309 ÷ 65536     		x = 0.492996215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37720 ÷ 216
    37720 ÷ 65536     		y = 0.5755615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492996215820312 × 2 - 1) × π
    -0.014007568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04400607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5755615234375 × 2 - 1) × π
    -0.151123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.474767053837036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04400607} λ = -0.04400607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.474767053837036))-π/2
    2×atan(0.622029939076997)-π/2
    2×0.556460689689465-π/2
    1.11292137937893-1.57079632675     		φ = -0.45787495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04400607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.521362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45787495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.234302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32309 KachelY 37720 -0.04400607 -0.45787495 -2.521362 -26.234302
    Oben rechts KachelX + 1 32310 KachelY 37720 -0.04391020 -0.45787495 -2.515869 -26.234302
    Unten links KachelX 32309 KachelY + 1 37721 -0.04400607 -0.45796094 -2.521362 -26.239229
    Unten rechts KachelX + 1 32310 KachelY + 1 37721 -0.04391020 -0.45796094 -2.515869 -26.239229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45787495--0.45796094) × R
    8.59899999999802e-05 × 6371000     		dl = 547.842289999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45787495--0.45796094) × R
    8.59899999999802e-05 × 6371000     		dr = 547.842289999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04400607--0.04391020) × cos(-0.45787495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896993885527208 × 6371000     		do = 547.872895044787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04400607--0.04391020) × cos(-0.45796094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896955870937704 × 6371000     		du = 547.849676198436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45787495)-sin(-0.45796094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896993885527208-0.896955870937704)×R²
    abs(-0.04391020--0.04400607)×3.80145895046979e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80145895046979e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80145895046979e-05×40589641000000     		ar = 300141.581502274m²