Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32302 / 37725
↖ ↑ ↗
← S 26.258936°
W  2.559814°		 ← 547.76 m → S 26.258936°
W  2.554321°		 →
↑
547.78 m
↓
↑
547.78 m
↓
S 26.263862°
W  2.559814°		 ← 547.73 m →
300 043 m²		 S 26.263862°
W  2.554321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492897033691406 y=0.575645446777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492897033691406 × 216)
    floor (0.492897033691406 × 65536)
    floor (32302.5)     		tx = 32302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575645446777344 × 216)
    floor (0.575645446777344 × 65536)
    floor (37725.5)     		ty = 37725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32302 / 37725 ti = "16/32302/37725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32302/37725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32302 ÷ 216
    32302 ÷ 65536     		x = 0.492889404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37725 ÷ 216
    37725 ÷ 65536     		y = 0.575637817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492889404296875 × 2 - 1) × π
    -0.01422119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04467719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575637817382812 × 2 - 1) × π
    -0.151275634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.475246422833237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04467719} λ = -0.04467719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475246422833237))-π/2
    2×atan(0.621731828667648)-π/2
    2×0.556245716943912-π/2
    1.11249143388782-1.57079632675     		φ = -0.45830489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04467719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.559814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45830489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.258936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32302 KachelY 37725 -0.04467719 -0.45830489 -2.559814 -26.258936
    Oben rechts KachelX + 1 32303 KachelY 37725 -0.04458132 -0.45830489 -2.554321 -26.258936
    Unten links KachelX 32302 KachelY + 1 37726 -0.04467719 -0.45839087 -2.559814 -26.263862
    Unten rechts KachelX + 1 32303 KachelY + 1 37726 -0.04458132 -0.45839087 -2.554321 -26.263862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45830489--0.45839087) × R
    8.59799999999855e-05 × 6371000     		dl = 547.778579999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45830489--0.45839087) × R
    8.59799999999855e-05 × 6371000     		dr = 547.778579999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04467719--0.04458132) × cos(-0.45830489) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896803750683352 × 6371000     		do = 547.756763007509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04467719--0.04458132) × cos(-0.45839087) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896765707360773 × 6371000     		du = 547.733526611347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45830489)-sin(-0.45839087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896803750683352-0.896765707360773)×R²
    abs(-0.04458132--0.04467719)×3.80433225796173e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80433225796173e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80433225796173e-05×40589641000000     		ar = 300043.057810312m²