Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32301 / 13804
↖ ↑ ↗
← N 71.559692°
W  2.565307°		 ← 193.20 m → N 71.559692°
W  2.559814°		 →
↑
193.23 m
↓
↑
193.23 m
↓
N 71.557954°
W  2.565307°		 ← 193.22 m →
37 335 m²		 N 71.557954°
W  2.559814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492881774902344 y=0.210639953613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492881774902344 × 216)
    floor (0.492881774902344 × 65536)
    floor (32301.5)     		tx = 32301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210639953613281 × 216)
    floor (0.210639953613281 × 65536)
    floor (13804.5)     		ty = 13804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32301 / 13804 ti = "16/32301/13804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32301/13804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32301 ÷ 216
    32301 ÷ 65536     		x = 0.492874145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13804 ÷ 216
    13804 ÷ 65536     		y = 0.21063232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492874145507812 × 2 - 1) × π
    -0.014251708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04477306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21063232421875 × 2 - 1) × π
    0.5787353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81815072878949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04477306} λ = -0.04477306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81815072878949))-π/2
    2×atan(6.1604555565077)-π/2
    2×1.40987428394819-π/2
    2.81974856789639-1.57079632675     		φ = 1.24895224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04477306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.565307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24895224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.559692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32301 KachelY 13804 -0.04477306 1.24895224 -2.565307 71.559692
    Oben rechts KachelX + 1 32302 KachelY 13804 -0.04467719 1.24895224 -2.559814 71.559692
    Unten links KachelX 32301 KachelY + 1 13805 -0.04477306 1.24892191 -2.565307 71.557954
    Unten rechts KachelX + 1 32302 KachelY + 1 13805 -0.04467719 1.24892191 -2.559814 71.557954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24895224-1.24892191) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dl = 193.232429999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24895224-1.24892191) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dr = 193.232429999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04477306--0.04467719) × cos(1.24895224) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.31631649725753 × 6371000     		do = 193.202247974148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04477306--0.04467719) × cos(1.24892191) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.316345269779252 × 6371000     		du = 193.219821878527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24895224)-sin(1.24892191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31631649725753-0.316345269779252)×R²
    abs(-0.04467719--0.04477306)×2.87725217215651e-05×R²
    9.58700000000048e-05×2.87725217215651e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×2.87725217215651e-05×40589641000000     		ar = 37334.6377843165m²