Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32294 / 13801
↖ ↑ ↗
← N 71.564904°
W  2.603760°		 ← 193.15 m → N 71.564904°
W  2.598267°		 →
↑
193.17 m
↓
↑
193.17 m
↓
N 71.563167°
W  2.603760°		 ← 193.17 m →
37 312 m²		 N 71.563167°
W  2.598267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492774963378906 y=0.210594177246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492774963378906 × 216)
    floor (0.492774963378906 × 65536)
    floor (32294.5)     		tx = 32294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210594177246094 × 216)
    floor (0.210594177246094 × 65536)
    floor (13801.5)     		ty = 13801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32294 / 13801 ti = "16/32294/13801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32294/13801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32294 ÷ 216
    32294 ÷ 65536     		x = 0.492767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13801 ÷ 216
    13801 ÷ 65536     		y = 0.210586547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.01446533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04544418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210586547851562 × 2 - 1) × π
    0.578826904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81843835018721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04544418} λ = -0.04544418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81843835018721))-π/2
    2×atan(6.16222769018502)-π/2
    2×1.40991976743907-π/2
    2.81983953487815-1.57079632675     		φ = 1.24904321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04544418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.603760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24904321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.564904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32294 KachelY 13801 -0.04544418 1.24904321 -2.603760 71.564904
    Oben rechts KachelX + 1 32295 KachelY 13801 -0.04534831 1.24904321 -2.598267 71.564904
    Unten links KachelX 32294 KachelY + 1 13802 -0.04544418 1.24901289 -2.603760 71.563167
    Unten rechts KachelX + 1 32295 KachelY + 1 13802 -0.04534831 1.24901289 -2.598267 71.563167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24904321-1.24901289) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dl = 193.168720000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24904321-1.24901289) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dr = 193.168720000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04544418--0.04534831) × cos(1.24904321) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.316230196920227 × 6371000     		do = 193.149536783562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04544418--0.04534831) × cos(1.24901289) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.316258960827895 × 6371000     		du = 193.167105426583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24904321)-sin(1.24901289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316230196920227-0.316258960827895)×R²
    abs(-0.04534831--0.04544418)×2.87639076684831e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.87639076684831e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.87639076684831e-05×40589641000000     		ar = 37312.1456479127m²