Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32293 / 13800
↖ ↑ ↗
← N 71.566641°
W  2.609253°		 ← 193.13 m → N 71.566641°
W  2.603760°		 →
↑
193.11 m
↓
↑
193.11 m
↓
N 71.564904°
W  2.609253°		 ← 193.15 m →
37 296 m²		 N 71.564904°
W  2.603760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492759704589844 y=0.210578918457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492759704589844 × 216)
    floor (0.492759704589844 × 65536)
    floor (32293.5)     		tx = 32293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210578918457031 × 216)
    floor (0.210578918457031 × 65536)
    floor (13800.5)     		ty = 13800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32293 / 13800 ti = "16/32293/13800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32293/13800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32293 ÷ 216
    32293 ÷ 65536     		x = 0.492752075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13800 ÷ 216
    13800 ÷ 65536     		y = 0.2105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492752075195312 × 2 - 1) × π
    -0.014495849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04554005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2105712890625 × 2 - 1) × π
    0.578857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81853422398645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04554005} λ = -0.04554005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81853422398645))-π/2
    2×atan(6.1628185146873)-π/2
    2×1.409934925845-π/2
    2.81986985169-1.57079632675     		φ = 1.24907352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04554005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.609253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24907352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.566641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32293 KachelY 13800 -0.04554005 1.24907352 -2.609253 71.566641
    Oben rechts KachelX + 1 32294 KachelY 13800 -0.04544418 1.24907352 -2.603760 71.566641
    Unten links KachelX 32293 KachelY + 1 13801 -0.04554005 1.24904321 -2.609253 71.564904
    Unten rechts KachelX + 1 32294 KachelY + 1 13801 -0.04544418 1.24904321 -2.603760 71.564904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24907352-1.24904321) × R
    3.03100000000889e-05 × 6371000     		dl = 193.105010000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24907352-1.24904321) × R
    3.03100000000889e-05 × 6371000     		dr = 193.105010000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04554005--0.04544418) × cos(1.24907352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.316201442208768 × 6371000     		do = 193.131973757473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04554005--0.04544418) × cos(1.24904321) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.316230196920227 × 6371000     		du = 193.149536783562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24907352)-sin(1.24904321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316201442208768-0.316230196920227)×R²
    abs(-0.04544418--0.04554005)×2.8754711458967e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.8754711458967e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.8754711458967e-05×40589641000000     		ar = 37296.4474810321m²