Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32293 / 13799
↖ ↑ ↗
← N 71.568378°
W  2.609253°		 ← 193.11 m → N 71.568378°
W  2.603760°		 →
↑
193.17 m
↓
↑
193.17 m
↓
N 71.566641°
W  2.609253°		 ← 193.13 m →
37 305 m²		 N 71.566641°
W  2.603760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492759704589844 y=0.210563659667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492759704589844 × 216)
    floor (0.492759704589844 × 65536)
    floor (32293.5)     		tx = 32293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210563659667969 × 216)
    floor (0.210563659667969 × 65536)
    floor (13799.5)     		ty = 13799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32293 / 13799 ti = "16/32293/13799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32293/13799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32293 ÷ 216
    32293 ÷ 65536     		x = 0.492752075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13799 ÷ 216
    13799 ÷ 65536     		y = 0.210556030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492752075195312 × 2 - 1) × π
    -0.014495849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04554005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210556030273438 × 2 - 1) × π
    0.578887939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81863009778569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04554005} λ = -0.04554005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81863009778569))-π/2
    2×atan(6.16340939583689)-π/2
    2×1.40995008287226-π/2
    2.81990016574451-1.57079632675     		φ = 1.24910384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04554005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.609253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24910384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.568378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32293 KachelY 13799 -0.04554005 1.24910384 -2.609253 71.568378
    Oben rechts KachelX + 1 32294 KachelY 13799 -0.04544418 1.24910384 -2.603760 71.568378
    Unten links KachelX 32293 KachelY + 1 13800 -0.04554005 1.24907352 -2.609253 71.566641
    Unten rechts KachelX + 1 32294 KachelY + 1 13800 -0.04544418 1.24907352 -2.603760 71.566641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24910384-1.24907352) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dl = 193.168720000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24910384-1.24907352) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dr = 193.168720000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04554005--0.04544418) × cos(1.24910384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.316172677719799 × 6371000     		do = 193.114404759401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04554005--0.04544418) × cos(1.24907352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.316201442208768 × 6371000     		du = 193.131973757473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24910384)-sin(1.24907352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316172677719799-0.316201442208768)×R²
    abs(-0.04544418--0.04554005)×2.87644889685468e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.87644889685468e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.87644889685468e-05×40589641000000     		ar = 37305.3592742433m²