Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32292 / 13828
↖ ↑ ↗
← N 71.517945°
W  2.614746°		 ← 193.64 m → N 71.517945°
W  2.609253°		 →
↑
193.61 m
↓
↑
193.61 m
↓
N 71.516204°
W  2.614746°		 ← 193.66 m →
37 494 m²		 N 71.516204°
W  2.609253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492744445800781 y=0.211006164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492744445800781 × 216)
    floor (0.492744445800781 × 65536)
    floor (32292.5)     		tx = 32292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211006164550781 × 216)
    floor (0.211006164550781 × 65536)
    floor (13828.5)     		ty = 13828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32292 / 13828 ti = "16/32292/13828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32292/13828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32292 ÷ 216
    32292 ÷ 65536     		x = 0.49273681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13828 ÷ 216
    13828 ÷ 65536     		y = 0.21099853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.0145263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04563593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21099853515625 × 2 - 1) × π
    0.5780029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81584975760773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04563593} λ = -0.04563593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81584975760773))-π/2
    2×atan(6.1462968214732)-π/2
    2×1.40950996893605-π/2
    2.8190199378721-1.57079632675     		φ = 1.24822361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04563593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.614746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24822361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.517945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32292 KachelY 13828 -0.04563593 1.24822361 -2.614746 71.517945
    Oben rechts KachelX + 1 32293 KachelY 13828 -0.04554005 1.24822361 -2.609253 71.517945
    Unten links KachelX 32292 KachelY + 1 13829 -0.04563593 1.24819322 -2.614746 71.516204
    Unten rechts KachelX + 1 32293 KachelY + 1 13829 -0.04554005 1.24819322 -2.609253 71.516204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24822361-1.24819322) × R
    3.03899999998247e-05 × 6371000     		dl = 193.614689998883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24822361-1.24819322) × R
    3.03899999998247e-05 × 6371000     		dr = 193.614689998883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04563593--0.04554005) × cos(1.24822361) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.317007630787244 × 6371000     		do = 193.644580437681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04563593--0.04554005) × cos(1.24819322) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.317036453215424 × 6371000     		du = 193.662186660592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24822361)-sin(1.24819322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317007630787244-0.317036453215424)×R²
    abs(-0.04554005--0.04563593)×2.88224281798644e-05×R²
    9.58799999999996e-05×2.88224281798644e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.88224281798644e-05×40589641000000     		ar = 37494.1398256061m²