Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3229 / 3093
↖ ↑ ↗
← S 67.238062°
E103.798828°		 ← 3 781.20 m → S 67.238062°
E103.886719°		 →
↑
3 778.51 m
↓
↑
3 778.51 m
↓
S 67.272043°
E103.798828°		 ← 3 775.85 m →
14 277 209 m²		 S 67.272043°
E103.886719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7884521484375 y=0.7552490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7884521484375 × 212)
    floor (0.7884521484375 × 4096)
    floor (3229.5)     		tx = 3229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7552490234375 × 212)
    floor (0.7552490234375 × 4096)
    floor (3093.5)     		ty = 3093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3229 / 3093 ti = "12/3229/3093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3229/3093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3229 ÷ 212
    3229 ÷ 4096     		x = 0.788330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3093 ÷ 212
    3093 ÷ 4096     		y = 0.755126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788330078125 × 2 - 1) × π
    0.57666015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.81163131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.51025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60300992329468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81163131} λ = 1.81163131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60300992329468))-π/2
    2×atan(0.201289738599847)-π/2
    2×0.198635384973857-π/2
    0.397270769947714-1.57079632675     		φ = -1.17352556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81163131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17352556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.238062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3229 KachelY 3093 1.81163131 -1.17352556 103.798828 -67.238062
    Oben rechts KachelX + 1 3230 KachelY 3093 1.81316529 -1.17352556 103.886719 -67.238062
    Unten links KachelX 3229 KachelY + 1 3094 1.81163131 -1.17411864 103.798828 -67.272043
    Unten rechts KachelX + 1 3230 KachelY + 1 3094 1.81316529 -1.17411864 103.886719 -67.272043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17352556--1.17411864) × R
    0.000593080000000024 × 6371000     		dl = 3778.51268000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17352556--1.17411864) × R
    0.000593080000000024 × 6371000     		dr = 3778.51268000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81163131-1.81316529) × cos(-1.17352556) × R
    0.00153397999999982 × 0.386903104848635 × 6371000     		do = 3781.19885144561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81163131-1.81316529) × cos(-1.17411864) × R
    0.00153397999999982 × 0.38635614568282 × 6371000     		du = 3775.85342685829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17352556)-sin(-1.17411864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386903104848635-0.38635614568282)×R²
    abs(1.81316529-1.81163131)×0.000546959165815153×R²
    0.00153397999999982×0.000546959165815153×6371000²
    0.00153397999999982×0.000546959165815153×40589641000000     		ar = 14277209.3469862m²