Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32285 / 13791
↖ ↑ ↗
← N 71.582267°
W  2.653199°		 ← 192.99 m → N 71.582267°
W  2.647705°		 →
↑
192.98 m
↓
↑
192.98 m
↓
N 71.580532°
W  2.653199°		 ← 193.01 m →
37 245 m²		 N 71.580532°
W  2.647705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492637634277344 y=0.210441589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492637634277344 × 216)
    floor (0.492637634277344 × 65536)
    floor (32285.5)     		tx = 32285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210441589355469 × 216)
    floor (0.210441589355469 × 65536)
    floor (13791.5)     		ty = 13791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32285 / 13791 ti = "16/32285/13791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32285/13791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32285 ÷ 216
    32285 ÷ 65536     		x = 0.492630004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13791 ÷ 216
    13791 ÷ 65536     		y = 0.210433959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492630004882812 × 2 - 1) × π
    -0.014739990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04630705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210433959960938 × 2 - 1) × π
    0.579132080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81939708817961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04630705} λ = -0.04630705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81939708817961))-π/2
    2×atan(6.16813848498844)-π/2
    2×1.41007128947173-π/2
    2.82014257894345-1.57079632675     		φ = 1.24934625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04630705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.653199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24934625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.582267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32285 KachelY 13791 -0.04630705 1.24934625 -2.653199 71.582267
    Oben rechts KachelX + 1 32286 KachelY 13791 -0.04621117 1.24934625 -2.647705 71.582267
    Unten links KachelX 32285 KachelY + 1 13792 -0.04630705 1.24931596 -2.653199 71.580532
    Unten rechts KachelX + 1 32286 KachelY + 1 13792 -0.04621117 1.24931596 -2.647705 71.580532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24934625-1.24931596) × R
    3.02900000002104e-05 × 6371000     		dl = 192.977590001341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24934625-1.24931596) × R
    3.02900000002104e-05 × 6371000     		dr = 192.977590001341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04630705--0.04621117) × cos(1.24934625) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.315942693663318 × 6371000     		do = 192.994062019424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04630705--0.04621117) × cos(1.24931596) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.315971432012315 × 6371000     		du = 193.011616882441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24934625)-sin(1.24931596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315942693663318-0.315971432012315)×R²
    abs(-0.04621117--0.04630705)×2.8738348996693e-05×R²
    9.58799999999996e-05×2.8738348996693e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.8738348996693e-05×40589641000000     		ar = 37245.2228235279m²