Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32284 / 13784
↖ ↑ ↗
← N 71.594412°
W  2.658691°		 ← 192.85 m → N 71.594412°
W  2.653199°		 →
↑
192.85 m
↓
↑
192.85 m
↓
N 71.592678°
W  2.658691°		 ← 192.87 m →
37 193 m²		 N 71.592678°
W  2.653199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492622375488281 y=0.210334777832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492622375488281 × 216)
    floor (0.492622375488281 × 65536)
    floor (32284.5)     		tx = 32284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210334777832031 × 216)
    floor (0.210334777832031 × 65536)
    floor (13784.5)     		ty = 13784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32284 / 13784 ti = "16/32284/13784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32284/13784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32284 ÷ 216
    32284 ÷ 65536     		x = 0.49261474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13784 ÷ 216
    13784 ÷ 65536     		y = 0.2103271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49261474609375 × 2 - 1) × π
    -0.0147705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04640292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2103271484375 × 2 - 1) × π
    0.579345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82006820477429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04640292} λ = -0.04640292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82006820477429))-π/2
    2×atan(6.17227941445182)-π/2
    2×1.41017727291702-π/2
    2.82035454583403-1.57079632675     		φ = 1.24955822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04640292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.658691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24955822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.594412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32284 KachelY 13784 -0.04640292 1.24955822 -2.658691 71.594412
    Oben rechts KachelX + 1 32285 KachelY 13784 -0.04630705 1.24955822 -2.653199 71.594412
    Unten links KachelX 32284 KachelY + 1 13785 -0.04640292 1.24952795 -2.658691 71.592678
    Unten rechts KachelX + 1 32285 KachelY + 1 13785 -0.04630705 1.24952795 -2.653199 71.592678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24955822-1.24952795) × R
    3.02699999998879e-05 × 6371000     		dl = 192.850169999286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24955822-1.24952795) × R
    3.02699999998879e-05 × 6371000     		dr = 192.850169999286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04640292--0.04630705) × cos(1.24955822) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.315741574036106 × 6371000     		do = 192.851091901799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04640292--0.04630705) × cos(1.24952795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.315770295436369 × 6371000     		du = 192.868634581817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24955822)-sin(1.24952795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315741574036106-0.315770295436369)×R²
    abs(-0.04630705--0.04640292)×2.87214002623881e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.87214002623881e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.87214002623881e-05×40589641000000     		ar = 37193.0574151683m²