Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32283 / 13821
↖ ↑ ↗
← N 71.530130°
W  2.664184°		 ← 193.50 m → N 71.530130°
W  2.658691°		 →
↑
193.49 m
↓
↑
193.49 m
↓
N 71.528390°
W  2.664184°		 ← 193.52 m →
37 442 m²		 N 71.528390°
W  2.658691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492607116699219 y=0.210899353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492607116699219 × 216)
    floor (0.492607116699219 × 65536)
    floor (32283.5)     		tx = 32283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210899353027344 × 216)
    floor (0.210899353027344 × 65536)
    floor (13821.5)     		ty = 13821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32283 / 13821 ti = "16/32283/13821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32283/13821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32283 ÷ 216
    32283 ÷ 65536     		x = 0.492599487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13821 ÷ 216
    13821 ÷ 65536     		y = 0.210891723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492599487304688 × 2 - 1) × π
    -0.014801025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04649879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210891723632812 × 2 - 1) × π
    0.578216552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.81652087420241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04649879} λ = -0.04649879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81652087420241))-π/2
    2×atan(6.15042308771392)-π/2
    2×1.40961630962909-π/2
    2.81923261925818-1.57079632675     		φ = 1.24843629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04649879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.664184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24843629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.530130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32283 KachelY 13821 -0.04649879 1.24843629 -2.664184 71.530130
    Oben rechts KachelX + 1 32284 KachelY 13821 -0.04640292 1.24843629 -2.658691 71.530130
    Unten links KachelX 32283 KachelY + 1 13822 -0.04649879 1.24840592 -2.664184 71.528390
    Unten rechts KachelX + 1 32284 KachelY + 1 13822 -0.04640292 1.24840592 -2.658691 71.528390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24843629-1.24840592) × R
    3.03699999999463e-05 × 6371000     		dl = 193.487269999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24843629-1.24840592) × R
    3.03699999999463e-05 × 6371000     		dr = 193.487269999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04649879--0.04640292) × cos(1.24843629) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.316805913018349 × 6371000     		do = 193.501177135287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04649879--0.04640292) × cos(1.24840592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.316834718525284 × 6371000     		du = 193.518771186632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24843629)-sin(1.24840592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316805913018349-0.316834718525284)×R²
    abs(-0.04640292--0.04649879)×2.88055069357362e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.88055069357362e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.88055069357362e-05×40589641000000     		ar = 37441.7166209046m²