Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32282 / 13789
↖ ↑ ↗
← N 71.585738°
W  2.669678°		 ← 192.96 m → N 71.585738°
W  2.664184°		 →
↑
192.98 m
↓
↑
192.98 m
↓
N 71.584003°
W  2.669678°		 ← 192.98 m →
37 238 m²		 N 71.584003°
W  2.664184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492591857910156 y=0.210411071777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492591857910156 × 216)
    floor (0.492591857910156 × 65536)
    floor (32282.5)     		tx = 32282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210411071777344 × 216)
    floor (0.210411071777344 × 65536)
    floor (13789.5)     		ty = 13789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32282 / 13789 ti = "16/32282/13789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32282/13789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32282 ÷ 216
    32282 ÷ 65536     		x = 0.492584228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13789 ÷ 216
    13789 ÷ 65536     		y = 0.210403442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492584228515625 × 2 - 1) × π
    -0.01483154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04659467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210403442382812 × 2 - 1) × π
    0.579193115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.81958883577809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04659467} λ = -0.04659467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81958883577809))-π/2
    2×atan(6.16932132412969)-π/2
    2×1.41010157734274-π/2
    2.82020315468547-1.57079632675     		φ = 1.24940683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04659467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.669678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24940683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.585738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32282 KachelY 13789 -0.04659467 1.24940683 -2.669678 71.585738
    Oben rechts KachelX + 1 32283 KachelY 13789 -0.04649879 1.24940683 -2.664184 71.585738
    Unten links KachelX 32282 KachelY + 1 13790 -0.04659467 1.24937654 -2.669678 71.584003
    Unten rechts KachelX + 1 32283 KachelY + 1 13790 -0.04649879 1.24937654 -2.664184 71.584003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24940683-1.24937654) × R
    3.02899999999884e-05 × 6371000     		dl = 192.977589999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24940683-1.24937654) × R
    3.02899999999884e-05 × 6371000     		dr = 192.977589999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04659467--0.04649879) × cos(1.24940683) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.315885216095734 × 6371000     		do = 192.958951762198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04659467--0.04649879) × cos(1.24937654) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.315913955024449 × 6371000     		du = 192.976506979338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24940683)-sin(1.24937654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315885216095734-0.315913955024449)×R²
    abs(-0.04649879--0.04659467)×2.87389287149664e-05×R²
    9.58799999999996e-05×2.87389287149664e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.87389287149664e-05×40589641000000     		ar = 37238.4473646517m²