Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32280 / 13785
↖ ↑ ↗
← N 71.592678°
W  2.680664°		 ← 192.87 m → N 71.592678°
W  2.675171°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
N 71.590943°
W  2.680664°		 ← 192.89 m →
37 209 m²		 N 71.590943°
W  2.675171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492561340332031 y=0.210350036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492561340332031 × 216)
    floor (0.492561340332031 × 65536)
    floor (32280.5)     		tx = 32280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210350036621094 × 216)
    floor (0.210350036621094 × 65536)
    floor (13785.5)     		ty = 13785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32280 / 13785 ti = "16/32280/13785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32280/13785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32280 ÷ 216
    32280 ÷ 65536     		x = 0.4925537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13785 ÷ 216
    13785 ÷ 65536     		y = 0.210342407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4925537109375 × 2 - 1) × π
    -0.014892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04678641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210342407226562 × 2 - 1) × π
    0.579315185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81997233097505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04678641} λ = -0.04678641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81997233097505))-π/2
    2×atan(6.17168768294062)-π/2
    2×1.41016213655637-π/2
    2.82032427311274-1.57079632675     		φ = 1.24952795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04678641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.680664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24952795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.592678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32280 KachelY 13785 -0.04678641 1.24952795 -2.680664 71.592678
    Oben rechts KachelX + 1 32281 KachelY 13785 -0.04669054 1.24952795 -2.675171 71.592678
    Unten links KachelX 32280 KachelY + 1 13786 -0.04678641 1.24949767 -2.680664 71.590943
    Unten rechts KachelX + 1 32281 KachelY + 1 13786 -0.04669054 1.24949767 -2.675171 71.590943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24952795-1.24949767) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dl = 192.913880000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24952795-1.24949767) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dr = 192.913880000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04678641--0.04669054) × cos(1.24952795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.315770295436369 × 6371000     		do = 192.868634581817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04678641--0.04669054) × cos(1.24949767) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.31579902603556 × 6371000     		du = 192.886182880428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24952795)-sin(1.24949767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315770295436369-0.31579902603556)×R²
    abs(-0.04669054--0.04678641)×2.87305991918396e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.87305991918396e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.87305991918396e-05×40589641000000     		ar = 37208.7292851622m²