Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3228 / 859
↖ ↑ ↗
← N 80.452222°
W 38.144531°		 ← 810.52 m → N 80.452222°
W 38.100586°		 →
↑
810.84 m
↓
↑
810.84 m
↓
N 80.444930°
W 38.144531°		 ← 811.14 m →
657 450 m²		 N 80.444930°
W 38.100586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39410400390625 y=0.10491943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39410400390625 × 213)
    floor (0.39410400390625 × 8192)
    floor (3228.5)     		tx = 3228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10491943359375 × 213)
    floor (0.10491943359375 × 8192)
    floor (859.5)     		ty = 859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3228 / 859 ti = "13/3228/859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3228/859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3228 ÷ 213
    3228 ÷ 8192     		x = 0.39404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 859 ÷ 213
    859 ÷ 8192     		y = 0.1048583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39404296875 × 2 - 1) × π
    -0.2119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.66574766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1048583984375 × 2 - 1) × π
    0.790283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48274790512195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66574766} λ = -0.66574766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48274790512195))-π/2
    2×atan(11.9741230049692)-π/2
    2×1.48747624986907-π/2
    2.97495249973814-1.57079632675     		φ = 1.40415617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66574766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.144531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40415617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.452222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3228 KachelY 859 -0.66574766 1.40415617 -38.144531 80.452222
    Oben rechts KachelX + 1 3229 KachelY 859 -0.66498067 1.40415617 -38.100586 80.452222
    Unten links KachelX 3228 KachelY + 1 860 -0.66574766 1.40402890 -38.144531 80.444930
    Unten rechts KachelX + 1 3229 KachelY + 1 860 -0.66498067 1.40402890 -38.100586 80.444930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40415617-1.40402890) × R
    0.000127270000000124 × 6371000     		dl = 810.837170000788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40415617-1.40402890) × R
    0.000127270000000124 × 6371000     		dr = 810.837170000788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66574766--0.66498067) × cos(1.40415617) × R
    0.000766989999999912 × 0.165869990104509 × 6371000     		do = 810.522593657955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66574766--0.66498067) × cos(1.40402890) × R
    0.000766989999999912 × 0.165995495769574 × 6371000     		du = 811.135876248151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40415617)-sin(1.40402890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165869990104509-0.165995495769574)×R²
    abs(-0.66498067--0.66574766)×0.000125505665064807×R²
    0.000766989999999912×0.000125505665064807×6371000²
    0.000766989999999912×0.000125505665064807×40589641000000     		ar = 657450.4831102m²