Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32277 / 13870
↖ ↑ ↗
← N 71.444667°
W  2.697144°		 ← 194.39 m → N 71.444667°
W  2.691650°		 →
↑
194.38 m
↓
↑
194.38 m
↓
N 71.442919°
W  2.697144°		 ← 194.40 m →
37 786 m²		 N 71.442919°
W  2.691650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492515563964844 y=0.211647033691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492515563964844 × 216)
    floor (0.492515563964844 × 65536)
    floor (32277.5)     		tx = 32277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211647033691406 × 216)
    floor (0.211647033691406 × 65536)
    floor (13870.5)     		ty = 13870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32277 / 13870 ti = "16/32277/13870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32277/13870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32277 ÷ 216
    32277 ÷ 65536     		x = 0.492507934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13870 ÷ 216
    13870 ÷ 65536     		y = 0.211639404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492507934570312 × 2 - 1) × π
    -0.014984130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04707404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211639404296875 × 2 - 1) × π
    0.57672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81182305803964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04707404} λ = -0.04707404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81182305803964))-π/2
    2×atan(6.12159729288122)-π/2
    2×1.40887050157662-π/2
    2.81774100315324-1.57079632675     		φ = 1.24694468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04707404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.697144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24694468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.444667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32277 KachelY 13870 -0.04707404 1.24694468 -2.697144 71.444667
    Oben rechts KachelX + 1 32278 KachelY 13870 -0.04697816 1.24694468 -2.691650 71.444667
    Unten links KachelX 32277 KachelY + 1 13871 -0.04707404 1.24691417 -2.697144 71.442919
    Unten rechts KachelX + 1 32278 KachelY + 1 13871 -0.04697816 1.24691417 -2.691650 71.442919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24694468-1.24691417) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dl = 194.379209999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24694468-1.24691417) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dr = 194.379209999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04707404--0.04697816) × cos(1.24694468) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.31822033780855 × 6371000     		do = 194.385364316452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04707404--0.04697816) × cos(1.24691417) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.318249261652417 × 6371000     		du = 194.403032489286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24694468)-sin(1.24691417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31822033780855-0.318249261652417)×R²
    abs(-0.04697816--0.04707404)×2.89238438672124e-05×R²
    9.58799999999996e-05×2.89238438672124e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.89238438672124e-05×40589641000000     		ar = 37786.1907167495m²