Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32271 / 13841
↖ ↑ ↗
← N 71.495293°
W  2.730103°		 ← 193.87 m → N 71.495293°
W  2.724609°		 →
↑
193.87 m
↓
↑
193.87 m
↓
N 71.493550°
W  2.730103°		 ← 193.89 m →
37 588 m²		 N 71.493550°
W  2.724609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492424011230469 y=0.211204528808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492424011230469 × 216)
    floor (0.492424011230469 × 65536)
    floor (32271.5)     		tx = 32271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211204528808594 × 216)
    floor (0.211204528808594 × 65536)
    floor (13841.5)     		ty = 13841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32271 / 13841 ti = "16/32271/13841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32271/13841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32271 ÷ 216
    32271 ÷ 65536     		x = 0.492416381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13841 ÷ 216
    13841 ÷ 65536     		y = 0.211196899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492416381835938 × 2 - 1) × π
    -0.015167236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04764928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211196899414062 × 2 - 1) × π
    0.577606201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81460339821761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04764928} λ = -0.04764928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81460339821761))-π/2
    2×atan(6.13864109859737)-π/2
    2×1.40931229941597-π/2
    2.81862459883194-1.57079632675     		φ = 1.24782827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04764928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.730103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24782827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.495293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32271 KachelY 13841 -0.04764928 1.24782827 -2.730103 71.495293
    Oben rechts KachelX + 1 32272 KachelY 13841 -0.04755340 1.24782827 -2.724609 71.495293
    Unten links KachelX 32271 KachelY + 1 13842 -0.04764928 1.24779784 -2.730103 71.493550
    Unten rechts KachelX + 1 32272 KachelY + 1 13842 -0.04755340 1.24779784 -2.724609 71.493550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24782827-1.24779784) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dl = 193.869530000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24782827-1.24779784) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dr = 193.869530000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04764928--0.04755340) × cos(1.24782827) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.317382555547956 × 6371000     		do = 193.87360378265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04764928--0.04755340) × cos(1.24779784) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.317411412096577 × 6371000     		du = 193.891230848083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24782827)-sin(1.24779784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317382555547956-0.317411412096577)×R²
    abs(-0.04755340--0.04764928)×2.8856548621059e-05×R²
    9.58799999999996e-05×2.8856548621059e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.8856548621059e-05×40589641000000     		ar = 37587.8931232317m²