Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32270 / 13818
↖ ↑ ↗
← N 71.535351°
W  2.735596°		 ← 193.45 m → N 71.535351°
W  2.730103°		 →
↑
193.49 m
↓
↑
193.49 m
↓
N 71.533611°
W  2.735596°		 ← 193.47 m →
37 432 m²		 N 71.533611°
W  2.730103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492408752441406 y=0.210853576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492408752441406 × 216)
    floor (0.492408752441406 × 65536)
    floor (32270.5)     		tx = 32270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210853576660156 × 216)
    floor (0.210853576660156 × 65536)
    floor (13818.5)     		ty = 13818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32270 / 13818 ti = "16/32270/13818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32270/13818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32270 ÷ 216
    32270 ÷ 65536     		x = 0.492401123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13818 ÷ 216
    13818 ÷ 65536     		y = 0.210845947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492401123046875 × 2 - 1) × π
    -0.01519775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04774515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210845947265625 × 2 - 1) × π
    0.57830810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81680849560013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04774515} λ = -0.04774515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81680849560013))-π/2
    2×atan(6.15219233542354)-π/2
    2×1.40966186349448-π/2
    2.81932372698895-1.57079632675     		φ = 1.24852740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04774515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.735596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24852740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.535351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32270 KachelY 13818 -0.04774515 1.24852740 -2.735596 71.535351
    Oben rechts KachelX + 1 32271 KachelY 13818 -0.04764928 1.24852740 -2.730103 71.535351
    Unten links KachelX 32270 KachelY + 1 13819 -0.04774515 1.24849703 -2.735596 71.533611
    Unten rechts KachelX + 1 32271 KachelY + 1 13819 -0.04764928 1.24849703 -2.730103 71.533611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24852740-1.24849703) × R
    3.03699999999463e-05 × 6371000     		dl = 193.487269999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24852740-1.24849703) × R
    3.03699999999463e-05 × 6371000     		dr = 193.487269999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04774515--0.04764928) × cos(1.24852740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.316719494744437 × 6371000     		do = 193.448393910477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04774515--0.04764928) × cos(1.24849703) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.316748301127898 × 6371000     		du = 193.465988497193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24852740)-sin(1.24849703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316719494744437-0.316748301127898)×R²
    abs(-0.04764928--0.04774515)×2.88063834613661e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.88063834613661e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.88063834613661e-05×40589641000000     		ar = 37431.5037908578m²