Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32269 / 37710
↖ ↑ ↗
← S 26.185018°
W  2.741089°		 ← 548.16 m → S 26.185018°
W  2.735596°		 →
↑
548.16 m
↓
↑
548.16 m
↓
S 26.189948°
W  2.741089°		 ← 548.14 m →
300 475 m²		 S 26.189948°
W  2.735596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492393493652344 y=0.575416564941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492393493652344 × 216)
    floor (0.492393493652344 × 65536)
    floor (32269.5)     		tx = 32269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575416564941406 × 216)
    floor (0.575416564941406 × 65536)
    floor (37710.5)     		ty = 37710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32269 / 37710 ti = "16/32269/37710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32269/37710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32269 ÷ 216
    32269 ÷ 65536     		x = 0.492385864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37710 ÷ 216
    37710 ÷ 65536     		y = 0.575408935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492385864257812 × 2 - 1) × π
    -0.015228271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04784103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575408935546875 × 2 - 1) × π
    -0.15081787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.473808315844635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04784103} λ = -0.04784103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.473808315844635))-π/2
    2×atan(0.622626588781669)-π/2
    2×0.556890771824189-π/2
    1.11378154364838-1.57079632675     		φ = -0.45701478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04784103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.741089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45701478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.185018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32269 KachelY 37710 -0.04784103 -0.45701478 -2.741089 -26.185018
    Oben rechts KachelX + 1 32270 KachelY 37710 -0.04774515 -0.45701478 -2.735596 -26.185018
    Unten links KachelX 32269 KachelY + 1 37711 -0.04784103 -0.45710082 -2.741089 -26.189948
    Unten rechts KachelX + 1 32270 KachelY + 1 37711 -0.04774515 -0.45710082 -2.735596 -26.189948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45701478--0.45710082) × R
    8.60400000000094e-05 × 6371000     		dl = 548.16084000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45701478--0.45710082) × R
    8.60400000000094e-05 × 6371000     		dr = 548.16084000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04784103--0.04774515) × cos(-0.45701478) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.89737378572484 × 6371000     		do = 548.162105123219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04784103--0.04774515) × cos(-0.45710082) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.897335815427631 × 6371000     		du = 548.138910910973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45701478)-sin(-0.45710082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89737378572484-0.897335815427631)×R²
    abs(-0.04774515--0.04784103)×3.7970297209533e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.7970297209533e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.7970297209533e-05×40589641000000     		ar = 300474.64310637m²